工程分析/矩陣形式

遵循某些預定義格式的矩陣在許多計算中很有用。我們將在此討論一些常見的矩陣格式。後面的章節將展示這些格式如何在計算和分析中使用。

對角矩陣

對角矩陣是指滿足以下條件的矩陣：

$a_{ij}=0,i\neq j$

換句話說，主對角線之外的所有元素都為零，對角線元素可以是非零的（但不需要）。

伴隨形式矩陣

如果我們有一個矩陣的以下特徵多項式：

$|A-\lambda I|=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda ^{1}+a_{0}$

我們可以透過兩種方式之一建立伴隨形式矩陣：

${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&0&\cdots &0&-a_{2}\\0&0&1&\cdots &0&-a_{3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{bmatrix}}$

或者，我們也可以寫成：

${\begin{bmatrix}-a_{n-1}&-a_{n-2}&-a_{n-3}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

約旦標準型

為了討論約旦標準型，我們需要先介紹約旦塊的概念。

約旦塊

約旦塊是一個方陣，其所有對角元素都相等，所有超對角元素（對角元素正上方的元素）都為 1。為了說明這一點，這裡是一個 n 維約旦塊的示例：

${\begin{bmatrix}a&1&0&\cdots &0\\0&a&1&\cdots &0\\0&0&a&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&a&\cdots &1\\0&0&0&\cdots &a\end{bmatrix}}$

標準型

如果一個方陣是對角矩陣，或者它具有以下兩種塊對角形式之一，那麼它就處於**約旦標準型**。

${\begin{bmatrix}D&0&\cdots &0\\0&J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J_{n}\end{bmatrix}}$

或者

${\begin{bmatrix}J_{1}&0&\cdots &0\\0&J_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J_{n}\end{bmatrix}}$

其中D元素是對角塊矩陣，J塊處於約旦塊形式。