工程分析/矩陣函式

如果我們有函式，並將矩陣作為這些函式的輸入，則輸出值並不總是直觀的。例如，如果我們有一個函式f(x)，並將矩陣A用作輸入引數，則輸出矩陣不一定是將函式f應用於A的各個元素。

對角矩陣

在對角矩陣的特殊情況下，f(A)的結果是將函式應用於對角矩陣的每個元素

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

然後函式f(A)由下式給出

$f(A)={\begin{bmatrix}f(a_{11})&0&\cdots &0\\0&f(a_{22})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &f(a_{nn})\end{bmatrix}}$

約當標準型

約當標準型的矩陣也有一種簡單的方法來計算矩陣的函式。但是，這種方法並不像上面描述的對角矩陣那樣容易。

如果我們有一個約當塊形式的矩陣A，則函式f(A)由下式給出

$f(A)={\begin{bmatrix}{\frac {f(a)}{0!}}&{\frac {f'(a)}{1!}}&\cdots &{\frac {f^{(r-1)}(a)}{(r-1)!}}\\0&{\frac {f(a)}{0!}}&\cdots &{\frac {f^{(}r-2)(a)}{(r-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {f(a)}{0!}}\end{bmatrix}}$

矩陣索引已被刪除，因為在約當塊形式中，所有對角元素必須相等。

如果矩陣處於約當塊形式，則函式的值將作為應用於各個對角塊的函式給出。