工程分析/機率函式

機率密度函式

隨機變數的機率密度函式或pdf是由以下定義的函式

$f_{X}(x)=P[X=x]$

請記住，這裡 X 是隨機變數，x 是一個相關變數（但不是隨機的）。$f_{X}$ 下標 X 表示這是 X 變數的 pdf。

pdf 遵循一些簡單的規則

1. pdf 始終非負。
2. pdf 曲線下的面積為 1。

   $\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)dx=1$

累積分佈函式

累積分佈函式 (CDF) 也稱為機率分佈函式 (PDF)。為了避免與隨機變數的 pdf 混淆，我們將使用縮寫 CDF 來表示此函式。隨機變數的 CDF 由以下函式定義

$F_{X}(x)=P[X\leq x]$

隨機變數的 CDF 和 pdf 之間存在關係

$f_{X}(x)={\frac {dF_{X}(x)}{dx}}$

$F_{X}(x)=\int f_{X}(x)dx$

CDF 是對應於給定值x 小於隨機變數 X 的值的機率的函式。CDF 是一個非遞減函式，並且始終非負。

示例：X 在兩個邊界之間

為了確定隨機變數 X 是否位於兩個邊界 [a, b] 之間，我們可以使用 CDF 函式

$P[a\leq X\leq b]=F_{X}(b)-F_{X}(a)$