工程分析/投影

投影

向量 $v\in V$ 在向量空間 $W\in V$ 上的投影是 v 與空間 W 之間的最小距離。換句話說，我們需要最小化向量 v 與任意向量 $w\in W$ 之間的距離。

$\|w-v\|^{2}=\|{\hat {W}}{\hat {a}}-v\|^{2}$

${\frac {\partial \|{\hat {W}}{\hat {a}}-v\|^{2}}{\partial {\hat {a}}}}={\frac {\partial \langle {\hat {W}}{\hat {a}}-v,{\hat {W}}{\hat {a}}-v\rangle }{\partial {\hat {a}}}}=0$

[在空間 W 上的投影]

${\hat {a}}=({\hat {W}}^{T}{\hat {W}})^{-1}{\hat {W}}^{T}v$

對於每個向量 $v\in V$ 都存在一個向量 $w\in W$，稱為 v 在 W 上的投影，使得 <v-w, p> = 0，其中 p 是 W 中的任意元素。

正交補

$w^{\perp }={x\in V:\langle x,y\rangle =0,\forall y\in W}$

v 和 W 之間的距離

$v\in V$ 與空間 W 之間的距離表示為 v 與任意 $w\in W$ 之間的最小距離。

${\frac {\partial d(v,w)}{\partial {\hat {a}}}}={\frac {\partial \|v-{\hat {W}}{\hat {a}}\|}{\partial {\hat {a}}}}=0$

交集

給定兩個向量空間V和W，它們之間的重疊區域是什麼？ 我們定義一個任意的向量z，它是V和W的成分。

$z={\hat {V}}{\hat {a}}={\hat {W}}{\hat {b}}$

${\hat {V}}{\hat {a}}-{\hat {W}}{\hat {b}}=0$

${\begin{bmatrix}{\hat {a}}\\{\hat {b}}\end{bmatrix}}={\mathcal {N}}([{\hat {v}}-{\hat {W}}])$

其中N是零空間。