工程分析/二次型

如果我們有一個 n × 1 向量 x 和一個 n × n 對稱矩陣 M，我們可以寫成

$x^{T}Mx=a$

其中 a 是一個標量值。這種形式的方程稱為二次型。

矩陣的正定性

根據矩陣的二次型，我們可以為特殊型別的矩陣建立若干個類別

1. 如果 $x^{T}Mx>0$ 對所有 x 成立，則該矩陣為正定。
2. 如果 $x^{T}Mx\geq 0$ 對所有 x 成立，則該矩陣為半正定。
3. 如果 $x^{T}Mx<0$ 對所有 x 成立，則該矩陣為負定。
4. 如果 $x^{T}Mx\leq 0$ 對所有 x 成立，則該矩陣為半負定。

這些分類在控制工程中很常見。