工程分析/隨機變數
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隨機變數是指在任何特定時間點 *t* 都會取隨機值的變數。隨機變數的屬性被稱為隨機變數的 **分佈**。我們將用縮寫“r.v.”或簡寫“rv”來表示隨機變數。這是在有關該主題的文獻中常用的約定。
機率函式 P[] 將表示特定事件發生的機率。以下是一些示例
- ，隨機變數 X 的值小於某個變數 *x* 的機率。
- ，隨機變數 X 的值等於某個變數 *x* 的機率。
- ，隨機變數 X 的值小於 *x* 且隨機變數 Y 的值大於 *y* 的機率。
![{\displaystyle P[X<x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2399aed5cc5e3e4050c2ddb1b2cfc4bef3e562c)
![{\displaystyle P[X=x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5679b8223b3f4cfc7de60a662d47cff5bc2d961e)
![{\displaystyle P[X<x,Y>y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04aa17ecd6ef7da4fd5d8fc4189847365bff0a88)
考慮一個公平硬幣被拋擲的例子。我們將定義 X 為隨機變數，並將“正面”定義為 1，“反面”定義為 0。硬幣為正面的機率是多少？
![{\displaystyle P[X=1]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc62dbab8d23b4527af780cc51684d983213379b)
現在考慮一個公平的 6 面骰子。X 是 r.v.，骰子面上面的數字值是 X 可以取的值。擲骰子時，值小於 4 的機率是多少？
![{\displaystyle P[X<4]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33677818711cc51008de23cbca3e27bb8c260adb)
值是偶數的機率是多少？
![{\displaystyle P[X{\mbox{ is even}}]=0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5f7c8d415e6a820582f484a1333532f71bc0a8)
我們通常將隨機變數寫成大寫字母，例如 Z、X、Y 等。小寫字母將用於表示與隨機變數相關的變數。例如，我們將使用“x”作為與隨機變數“X”相關的變數。
當我們將隨機變數與矩陣結合使用時，我們將使用以下約定
- 隨機變數，以及隨機向量或矩陣將用字母表末端的字母表示，例如 W、X、Y 和 Z。此外，Θ 和 Ω 將用作隨機變數，尤其是在我們談論隨機頻率時。
- 隨機矩陣或向量將用大寫字母表示。該隨機向量或矩陣中的條目將用大寫字母和下標表示。這些矩陣還將使用字母表末端的字母，或希臘字母 Θ 和 Ω。
- 非隨機的常規係數向量或矩陣將使用字母表開頭的字母表示大寫矩陣，例如 A、B、C 或 D。
- 從隨機變數匯出的特殊向量或矩陣，例如相關矩陣或協方差矩陣，將使用字母表中間的大寫字母表示，例如 K、M、N、P 或 Q。
任何其他變數或符號將在其出現的頁面上下文中進行解釋。
**條件機率** 是在另一個事件已經發生的情況下，一個事件發生的機率度量。例如，你正在閱讀此頁面時，你的電腦系統突然崩潰的機率是多少？
![{\displaystyle P[{\mbox{computer breaks}}]={\mbox{small}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95eda742933270f3cccbd77d6ae7a89d787345a1)
你的電腦突然停止工作的機率非常小。但是，如果你的電腦剛剛被閃電擊中，那麼你的電腦會壞的機率是多少？
![{\displaystyle P[{\mbox{computer breaks}}|{\mbox{struck by lightning}}]={\mbox{large}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba6a7658f058fa696c11d1578a0dcc756c2a5b4)
豎線將尚未發生的事件（左側的先驗機率）與已經發生並可能影響結果的事件（右側的後驗機率）隔開。例如，假設我們知道骰子擲出的數字小於 4，那麼擲出 2 的機率是多少？
![{\displaystyle P[X=2|X<4]=0.33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a24c2e2433cf6eb681462376bac0bba07ee21c)
如果 X 小於 4，我們知道它只能是 1、2 或 3 中的一個值。另一個例子，如果一個人問你“我在想 1 到 10 之間的某個數字”，你猜對的機率是多少？
![{\displaystyle P[X=x|0<X<10]=0.1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd91009daa7e690b0440f1d241c1370d7d210611)
其中 x 是您試圖猜測的正確數字。