工程分析/小波

小波是隻在時間上的特定視窗記憶體在的正交基函式。 這與正弦波形成對比，正弦波在所有時間 t 上都存在。 小波由於依賴於時間，因此可以用作基函式。 小波基集產生小波分解，它是對一元函式的二維分解。 小波分析允許我們根據時間和頻率對函式進行分解，而傅立葉分解只允許我們根據頻率對函式進行分解。

母小波

如果我們有一個基本的小波函式 ψ(t)，我們可以寫出一個二維函式，稱為母小波函式，如下所示

$\psi _{jk}=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k)$

小波級數

如果我們有母小波函式，我們可以寫出傅立葉風格的級數，作為所有小波的雙重求和

$f(t)=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{jk}\psi _{jk}(t)$

尺度函式

有時，我們可以新增一個額外的函式，稱為尺度函式

$f(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\phi _{i}+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{jk}\psi _{jk}(t)$

這樣做的目的是，尺度函式比小波函式更大，並且佔用更多時間。 在這種情況下，尺度函式將顯示訊號的長期變化，小波函式將顯示訊號的短期變化。