1 靜力學導論

力學

力學是物理學的一個分支，它研究物理物體在受到力的作用或位移時的行為，以及物體對其環境的後續影響。力學中只有很少的原理，但它們在工程中有著廣泛的應用。這些原理構成了振動、結構穩定性和強度、流體力學等高階研究的基礎。因此，深入理解力學對於這些研究領域的進步，或僅僅成為一名優秀的工程師至關重要。

力學是最古老的物理科學。古代力學的主要理論是亞里士多德力學。在中世紀，亞里士多德的理論受到包括 6 世紀的約翰·菲洛波努斯在內的許多人的批評和修改。一箇中心問題是拋射運動問題，這個問題由喜帕恰斯和菲洛波努斯討論過。這導致了 14 世紀法國讓·布里丹提出的衝量理論的發展，該理論發展成現代的慣性、速度、加速度和動量理論。這項工作和其他工作在 14 世紀的英國由牛津計算家（如托馬斯·布拉德沃丁）發展起來，他們研究並制定了關於落體運動的各種定律。關於物體受恆定（均勻）力作用的問題，12 世紀的猶太-穆斯林希巴特·阿拉·阿布·巴拉克特·巴格達迪指出，恆定力賦予恆定加速度，而主要性質是均勻加速運動（如落體運動）是由 14 世紀的牛津計算家們研究出來的。早期近代的兩位重要人物是伽利略·伽利雷和艾薩克·牛頓。伽利略關於他力學的最終陳述，特別是關於落體的陳述，是他於 1638 年發表的《兩種新科學》。牛頓在 1687 年發表的《自然哲學的數學原理》利用新發展的微積分數學對力學進行了詳細的數學描述，為牛頓力學奠定了基礎。

在這本書中，我們不會進行大多數理論研究——就像我們在物理書中做的那樣；內容將與力學原理的應用相平衡。力學原理最好用數學來描述，因此我們將從描述靜力學的數學原理開始。

力學主題分為兩個部分：靜力學和動力學；然後進一步細分為我們不會在這本書中涵蓋的主題。

基本概念

對以下內容的定義: 空間是指物體和事件發生並具有相對位置和方向的無限三維範圍。二維空間用兩個座標 ( $x$ 和 $y$ ) 來描述，而三維空間（物理現實）用三個座標 ( $x$ ， $y$ ，和 $z$ ) 來描述。; 時間是用來排序事件、比較事件持續時間和它們之間間隔以及量化變化率（如物體運動）（與靜力學問題的分析無關）的度量系統的一部分。; 質量通常指的是物質以下三種性質中的一種，這些性質在實驗中被證明是等效的：慣性質量、主動引力質量和被動引力質量。後者在靜力學中經常被用到。; 力是任何導致物體速度變化、方向變化或形狀變化的影響。力也可以用直觀的概念來描述，例如推動或拉動，它會導致有質量的物體改變其速度，即加速。力既有大小也有方向，是一個向量量（將在第 2 章中討論）。; 粒子是一個小的區域性物體，可以賦予它幾個物理性質，例如體積或質量。物體是否可以被認為是粒子取決於環境的尺度；如果物體的自身大小很小或可以忽略不計，或者幾何性質和結構無關緊要，那麼它就可以被認為是粒子。; 剛體是有限大小的固體的理想化，其中忽略了變形。換句話說，無論施加在剛體上的外力如何，任何兩個給定點的距離都始終保持不變。如果材料上的變形在影響解方面可以忽略不計，那麼可以使用剛體來構建合適的模型。

標量和向量

物理學中有兩種型別的量：標量和向量。標量只有大小，例如時間、體積、速度、能量、質量和密度。向量量由大小和方向共同描述；例如位移、速度、加速度、力、力矩和動量。速度是具有方向分量的速度。

向量型別: 自由向量有大小和方向，與任何向量一樣，但起點並不重要，即在空間中浮動的向量。正如我們將看到的，自由向量在描述運動物體的位移時很方便。; 滑動向量在空間中有一條作用線，但沒有特定的作用點。一個例子是力——無論力在物體上的作用點如何，結果都是一樣的。; 固定向量具有特定的作用點。當描述作用在非剛性（可變形）物體上的力時，這種型別的向量變得很重要。

圖表和方程的約定

向量量， ${\textbf {V}}$ ，如圖 1.1 所示，用一條帶箭頭指示方向的線段表示。線段的長度表示向量的大小， $|V|$ （印刷為 $V$ ），使用方便的比例，例如 1 釐米等於 10 牛頓。

由於在手寫工作中加粗字母很困難/費時，所以可以用線或箭頭在字母上方表示，例如 ${\overline {V}}$ 或 ${\vec {V}}$ 。其他人可能使用插入符號，或下劃線 ${\underline {V}}$ 。在得出正確答案時，維護向量和標量之間的數學區別非常重要，因此請使用您習慣的方式。

使用向量

向量的方向可以用一個角度來描述，該角度是從已知的起點和參考線給出的，如圖 1.1 所示。由於大小總是正數， $-{\textbf {V}}$ 與 ${\textbf {V}}$ 長度相同，但方向相反 ( $180^{\circ }$ ）。

(a)

(b)

(c)

圖 1.2：平行四邊形法則

向量遵守平行四邊形法則。該定律指出，自由向量， $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，可以用 $\mathbf {V}$ 替換，它是兩個自由向量作為邊的平行四邊形的對角線，如圖 1.2a 所示。這被稱為 *向量和*，可以用以下數學表示式表示。

 $\mathbf {V} =\mathbf {V_{1}} +\mathbf {V_{2}}$

在符號上，*向量和* 由粗體向量之間的加號表示。這與兩個向量的 *標量和* $V_{1}+V_{2}$ 不應混淆。由於平行四邊形的幾何形狀，顯然 $V\neq V_{1}+V_{2}$ 。

或者，向量 $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，再次視為自由向量，可以使用三角形法則進行求和，如圖 1.2c 所示，得出向量和 $\mathbf {V}$ 。使用您最熟悉的方法 - 它們是等價的。向量和滿足交換律，即 $\mathbf {V_{1}} +\mathbf {V_{2}} =\mathbf {V_{2}} +\mathbf {V_{1}}$ 。

兩個示例向量的向量差， $\mathbf {V_{2}} -\mathbf {V_{1}}$ ，可以使用平行四邊形法則或三角形法則（見圖 1.3）透過新增 $-\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ ，得到向量差 $\mathbf {V^{\prime }}$ 代表 *向量減法* 的方程如下

 $\mathbf {V^{\prime }} =\mathbf {V_{2}} -\mathbf {V_{1}}$

上述向量運算可以透過逐對加減應用於兩個以上的向量。這些方程式中涉及的自由向量稱為向量分量。為了說明這一點，請參見圖 1.4a：向量 $\mathbf {V_{1}}$ 和 $\mathbf {V_{2}}$ 構成 $\mathbf {V}$ 在 $1$ 和 $2$ 方向上的分量向量。通常，我們使用矩形分量來利用方便的三角函式，如圖 1.4b 所示。作為另一種數學便利，笛卡爾座標系用於描述物理系統，這可以透過使用 $x$ 和 $y$ 作為下標和座標來證明。圖 1.4c 說明了使用另一種矩形座標系，該座標系可以被視為相對於 $x$ 和 $y$ 的相對座標。當您遇到複雜的力學問題時，相對座標系將變得有用。

(a)

(b)

(c)

圖 1.4：平行四邊形組合定律

向量可以分成大小和方向。使用下式中的反正切函式可以很容易地確定向量的方向； $\theta$ 被認為是方向，在笛卡爾座標系中從正 x 軸測量。

 $\theta =\tan ^{-1}{\frac {V_{y}}{V_{x}}}$

將 $V$ 作為向量大小，向量可以描述為其大小乘以其單位向量。 $\mathbf {V}$ 的值不會因此而改變，因為單位向量指示正確方向並具有大小為 1。

 ${\textbf {V}}=V{\textbf {n}}$

為了在 2 或 3（正交）維中描述向量，我們使用單位向量 $\mathbf {i}$ 、 $\mathbf {j}$ 和 $\mathbf {k}$ 來分別指示向量朝向 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的方向（如圖 1.5 所示）。

${\textbf {V}}=V_{x}{\textbf {i}}+V_{y}{\textbf {j}}+V_{z}{\textbf {k}}$

牛頓定律

牛頓運動定律是三個物理定律，構成了經典力學的基本定律。它們描述了作用在物體上的力和物體由於這些力而產生的運動之間的關係。

定律 1：除非物體受到外力的作用，否則物體的速度保持不變。
定律 2：物體的加速度 ${\textbf {a}}$ 與力的向量和 ${\textbf {F}}$ 平行且成正比，並與質量 $m$ 成反比。
定律 3：兩個物體之間的相互作用力和反作用力相等、方向相反且共線。

這些定律很容易透過精確的物理測量來驗證，就像你在高中物理課上做的那樣。牛頓第二定律在動力學分析中最為有用，因為它描述了我們可以測量的量（以及我們不能測量的量）之間的直接數學關係。應用於粒子質量（沒有尺寸） $m$ ，牛頓第二定律可以表述為

${\textbf {F}}=m{\textbf {a}}$ (式 1.1)

其中 ${\textbf {F}}$ 是作用在粒子質量上的力的向量和， ${\textbf {a}}$ 是粒子質量的產生的加速度。等式 1.1 是一個 *向量方程*，因為 ${\textbf {F}}$ 的方向必須與 ${\textbf {a}}$ 的方向共線，力的向量和的幅度 $|{\textbf {F}}|$ 必須等於另一邊的幅度 $|m{\textbf {a}}|$ 。

重新說明牛頓第一定律，物體保持靜止，除非受到不平衡的合力的作用。這個說法是速度在這種情況下保持不變的結果（速度為 $0$ 的物體處於靜止狀態）。因此，**第一定律在我們對靜力的分析中至關重要**。這條定律是牛頓第二定律的結果，也就是說，當力的向量和為零時，加速度為零。

牛頓第三定律對於我們解決靜力學問題的解題方法至關重要。當作用在物體上的力時，物體上的作用力的大小相等，方向相反。這條定律適用於所有力，無論它們是可變的還是恆定的，來自所有來源，適用於所有時間點。**對於存在重力的系統，兩個相互接觸的物體將具有相等且相反的力，除非它們的接觸切線與重力加速度共線。**

在分析物體和力的系統時，必須注意力的對，以避免混淆。為了簡化您的分析，最好 *隔離* 系統，考慮一個物體以及作用 *在* 它上的力。

單位

在力學中，我們使用四個基本量，稱為 *量綱*：長度、質量、力、和時間。用於測量這些量的單位必須在我們的方程中相互一致，例如牛頓第二定律，式 1.1；也就是說，您不能在同一個方程中混合 SI 單位和美國習慣單位。有許多單位制，但本文將使用科學和工程中常用的單位制。請參閱下表以瞭解四個基本量綱及其單位和符號。

數量	量綱符號	SI 單位			美國習慣單位
數量	量綱符號	單位		符號	單位		符號
質量	M	基本單位 ${\Bigg \{}$	千克	kg		slug	—
長度	L		米	m	基本單位 ${\Bigg \{}$	英尺	ft
時間	T		秒	s		秒	sec
力	F		牛頓	N		磅	lb

SI 單位

國際單位制（簡稱 SI，源自法語：Système international d'unités）是現代公制形式，通常是圍繞七個基本單位和十進位制的便利性而設計的測量單位系統。 SI 是世界上使用最廣泛的測量系統，在日常商業和科學中都使用。該系統已在全球範圍內幾乎被採用，美國是唯一一個在商業和標準活動中沒有主要使用公制系統的工業化國家。如表所示，SI 基本單位是千克 (kg) 用於質量，米 (m) 用於長度，秒 (s) 用於時間。力的單位，牛頓 (N)，由公式 1.1 從基本單位推匯出。

 ${\text{N}}={\text{kg}}\cdot {\text{m}}/{\text{s}}^{2}$

因此，1 牛頓是使 1 kg 質量以 1 m/s² 加速所需的力。

考慮一個質量 $m$ ，它正在自由落體朝向地球。簡而言之，這個質量只有重力作用於它；因此它正在以重力加速度 $g$ 下降。這種重力被稱為物體的重量 $W$ ，由公式 1.1 求得

 $W{\text{ (N)}}=m{\text{ (kg)}}\times g{\text{ (m}}/{\text{s}}^{2}{\text{)}}$

美國習慣單位

美國習慣單位，也稱為英尺-磅-秒 (FPS) 系統，是美國常用的測量系統。許多美國單位實際上與其英制對應物相同，但美國習慣單位是在 1824 年英制系統標準化之前，從大英帝國使用的英國單位發展而來的。與英制系統存在若干數值差異。工程師必須能夠使用 SI 和美國習慣單位，本書中兩種系統都可自由使用。

類似於牛頓從公制基本單位的推導，我們可以使用公式 1.1 推匯出美國習慣單位的質量單位，即 slug。

${\text{slug}}={\frac {{\text{lb}}\cdot {\text{ft}}}{{\text{sec}}^{2}}}$

因此，1 slug 是在 1 lb 力作用下以 1 ft/sec² 加速的質量。slug 也可以用質量的重力或重量表示，使用公式 1.1

$m{\text{(slugs)}}={\frac {W{\text{ (lb)}}}{g{\text{ (ft/sec}}^{2}{\text{)}}}}$

在美國單位中，磅也被用來表示質量，特別是指定液體和氣體的熱性質。然後縮寫是 lbm 表示磅質量，lbf 表示磅力。在本教材中，我們將只使用磅 (lb) 表示力。工程和科學中其他有用的力單位是千磅 (kip)，它等於 1000 磅，以及噸，它等於 2000 磅。

國際單位制是一個絕對系統，因為它的基本單位不依賴於環境。相反，美國系統 (FPS) 是一個重力系統，因為它的基本量力被定義為標準質量在海平面、北緯 45 度的重力 (重量)。標準磅也是使一磅質量以 32.1740 ft/sec² 加速所需的力。

主要標準

已經為質量、長度和時間的測量制定了國際標準。

質量

千克 (kg) 是 SI 中的質量基本單位，定義為等於國際千克原器 (IPK) 的質量，幾乎正好等於一升水的質量。在美國國家標準與技術研究院 (NIST) 儲存著 IPK 的精確複製品。物理標準的質量並不恆定；還沒有提出任何合理的機制來解釋 IPK 質量的持續下降，或者世界各地分散的複製品的質量增加。然而，解決這個問題的長期方案是透過開發一種可在不同實驗室中透過遵循書面規範複製的千克實用實現來消除 SI 系統對 IPK 的依賴。國際磅，在英制系統和美國習慣單位中都使用，被定義為正好為 0.45359237 kg，因此一公斤大約等於 2.2046 磅。

長度

米 (m) 是 SI 中的長度基本單位。最初意在是地球赤道到北極（海平面）距離的千萬分之一，它的定義已定期改進以反映計量學的不斷發展。自 1983 年以來，它被定義為光在真空中在 $^{1}/_{299,792,458}$ 秒的時間間隔內傳播的路徑的長度。

時間

秒 (s) 是 SI 和其他系統中的時間基本單位。在 1000 年（當 al-Biruni 使用秒時）到 1960 年之間，秒被定義為平均太陽日的 1/86,400（該定義在某些天文和法律語境中仍然適用）。在 1960 年到 1967 年之間，它是在地球繞太陽執行軌道的週期內定義的，但現在它在原子術語中定義得更精確。自 1967 年以來，秒被定義為：銫 133 原子基態的兩個超精細能級之間躍遷所對應輻射的 9,192,631,770 個週期的持續時間。

重力

標準重力，或標準自由落體加速度， $g$ ，是物體在地球表面附近真空中的標稱加速度。的值 $g$ 是地球上的一個標稱中值，最初基於物體在海平面、大地緯度 45°處的自由落體加速度。雖然地球上的實際自由落體加速度會因位置而異，但上述標準值始終用於計量目的。它被定義為

SI 單位: $9.80665{\text{ m/s}}^{2}$ ，或 $\approx 35.30394{\text{ (km/h)/s}}$ .
美製單位: $32.1740{\text{ ft/s}}^{2}$ 或 $\approx 21.937{\text{ mph/s}}$ .

對於大多數工程工作，這些標準的精度已經足夠了。

單位換算

工程靜力學/附錄/轉換系數工程靜力學/附錄/力學中使用的 SI 單位

萬有引力定律

在力學中，我們經常需要計算物體的重量。我們可以用牛頓的 *萬有引力定律* 計算這個力。

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$ (Eqn 1.2)

${\begin{array}{rcl}{\text{where }}F&=&{\text{the force between the masses}}\\G&=&{\text{the gravitational constant }}(=6.67384\times 10^{-11}{\frac {{\text{ m}}^{3}}{{\text{kg}}\cdot {\text{s}}^{2}}})\\m_{1},m_{2}&=&{\text{two particle masses}}\\r&=&{\text{the distance between the centers of the masses}}\end{array}}$

當然，相互作用力遵循牛頓作用力與反作用力定律。這些力沿著 $r$ 作用，如圖 1.7 所示。

精度、限制和近似值

靜力學問題解決

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