工程表格/傅立葉變換性質

	訊號	傅立葉變換 么正，角頻率	傅立葉變換 么正，普通頻率	備註
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	線性
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	時域移位
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	頻域移位，2 的對偶
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	如果 $|a|\,$ 很大，那麼 $g(at)\,$ 集中在 0 附近，而 ${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ 會擴充套件和平坦化。
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	傅立葉變換的對偶性。源於交換 $t\,$ 和 $\omega \,$ 的“啞”變數。
6	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	傅立葉變換的廣義導數性質
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	這是6的對偶
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$ 表示 $g\,$ 和 $h\,$ 的卷積——這條規則是卷積定理
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	這是8的對偶
10	對於一個純實偶函式 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一個純實偶函式	$G(f)\,$ 是一個純實偶函式
11	對於一個純實奇函式 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一個純虛奇函式	$G(f)\,$ 是一個純虛奇函式