工程表格/拉普拉斯變換表 2

ID	函式	時域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	收斂域 對於因果系統
1	理想延遲	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	單位脈衝	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {all} \ s\,$
2	延遲的n次方，並伴隨頻率偏移	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
2a	n次方	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	q次方	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	單位階躍	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	延遲單位階躍	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	斜坡	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	n次冪頻移	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	指數衰減	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	指數逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	餘弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
6	雙曲正弦	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	雙曲餘弦	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	指數衰減正弦	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	指數衰減餘弦	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	n次根	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0\,$
11	自然對數	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	貝塞爾函式 第一類，n階	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	修正貝塞爾函式 第一類，n階	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	貝塞爾函式 第二類零階貝塞爾函式	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	修正貝塞爾函式 第二類零階貝塞爾函式	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	誤差函式	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
17	常數	$C$	$\displaystyle {\frac {C}{s}}$
解釋說明 $u(t)\,$ 表示單位階躍函式。 $\delta (t)\,$ 表示狄拉克δ函式。 $\Gamma (z)\,$ 表示伽馬函式。 $\gamma \,$ 是尤拉-馬歇羅尼常數。 $t\,$ 是一個實數，通常表示時間， 但它也可以表示任何獨立維度。 $s\,$ 是復角頻率。 $\alpha \,$，$\beta \,$，$\tau \,$，$\omega \,$ 和 $C$ 是實數。 $n\,$ 是一個整數。 因果系統是指在所有時間 t 小於 t=0 時，衝激響應 h(t) 均為零的系統。通常情況下，因果系統的 ROC 與反因果系統的 ROC 不同。另請參見因果關係。