費馬大定理/安德魯·懷爾斯
安德魯·懷爾斯出生於英國，1953 年 4 月 11 日。從小他就表現出對數學謎題和問題的濃厚興趣。當他還是個孩子的時候，他就喜歡去公共圖書館尋找包含謎題和難題的書籍。在他 10 歲的時候，他在圖書館裡找到了埃裡克·坦普爾·貝爾的《最後的問題》這本書。在這本書中，作者描述了後來被稱為費馬大定理的東西，從古希臘人到 19 世紀末的發現。年輕的懷爾斯一直被這個問題所吸引。一個如此簡單表述的方程卻難倒了世界上一些最優秀的數學家，這個男孩開始幻想，希望找到一個簡單的證明，而這個證明是其他數學家無法找到的。懷爾斯假設費馬並沒有比他更強的數學知識，因此他試圖用他有限的知識來證明。顯然，他無法找到它，他一生的大部分時間都在追求費馬大定理。懷爾斯成為了一名職業數學家，他不得不暫時放棄他的追求，因為找到一個證明被認為對一個年輕的數學家來說太難了，而且他並不認為這能立即產生有趣的數學成果。懷爾斯的博士導師是約翰·科茨，他指導懷爾斯研究橢圓曲線。那是懷爾斯的幸運，因為懷爾斯能夠利用他關於橢圓曲線的知識來證明費馬大定理。
具體來說，懷爾斯分析了模算術中的一些橢圓曲線。雖然經典的算術處理的是無限多個數字，但在模算術中，人們只使用一個值子集。模算術也被稱為時鐘算術，因為這使用了模數等於 24 的模算術。眾所周知，如果現在是下午 6 點，等 8 個小時，你不會發現自己在下午 2 點，而是下午 2 點，因為當時鍾到達 24 點時，它會從 0 開始重新計數。模算術是一個完整的算術，就像經典的算術一樣，只是使用的數字是有限的。模算術還有一些非常有趣的特性，使其在某些數學領域特別有用。當一位數學家用模算術分析一個橢圓曲線時，他會提取一系列被稱為 L 級數的解。懷爾斯在橢圓曲線及其 L 級數方面做了很多工作，積累了未來對他有用的經驗。
在 20 世紀 50 年代末，日本數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想，被稱為谷山-志村猜想。這個猜想指出，每個橢圓曲線的 L 級數都可以與一個特定模形式的 M 級數相關聯。本質上，這個猜想斷言，每個模形式都可以與一個橢圓曲線建立一一對應的關係，或者，換句話說，模形式和橢圓曲線是同一個數學物件，從不同的角度來看。從數學家的角度來看，這個猜想非常重要，事實上，如果它被證明是正確的，那麼這意味著幾個世紀以來關於橢圓曲線的問題將能夠被轉移到它們的模形式中，並用新的數學工具來解決。顯然，反之亦然。
1984 年，發生了一件事，改變了懷爾斯的生活：在德國的一次會議上，格哈德·弗雷證明，誰證明了谷山-志村猜想，也就自動證明了費馬大定理。弗雷透過一系列並不複雜的步驟表明，在費馬大定理的一個假設的反例（即方程 an+bn=cn 的一個有效解）中，人們將能夠把它寫成一個橢圓曲線，這個曲線是如此特殊和非典型，以至於它不能與任何模形式的 M 級數相關聯。因此，證明谷山-志村猜想證明了這個退化方程不存在，因此費馬大定理是正確的。實際上，幾乎所有與費馬大定理相關的東西並不像看起來那樣簡單，以至於一個證明的出現，將費馬大定理與谷山-志村猜想不可分割地聯絡在一起，讓世界上半數的數學家奮鬥了不止兩年，事實上，弗雷最初的證明是不完整的。
1986 年，懷爾斯得知了谷山-志村猜想與費馬大定理之間的聯絡已經被證明。這似乎是懷爾斯一個絕佳的機會，利用高階數學（試圖證明谷山-志村猜想）來實現他一生的數學抱負（證明費馬大定理）。懷爾斯決定在絕對秘密中工作，這與當時的主流風氣背道而馳。雖然在許多學科中，在進行一個專案時保持嚴格的保密是常見的做法，以保護專利權，但在數學中人們遵循相反的做法。數學家們不斷地相互交談，連續比較是面對看似無法解決的問題的最佳方法，而在理論數學中，工業秘密的問題實際上並不存在。懷爾斯精心準備，他放棄了所有非義務性的職責，接受了一項他即將發表的令人印象深刻的研究，將其分成許多文章，以便在研究猜想時能夠不斷提供作品，並盡力吸收儘可能多的關於模形式和橢圓曲線的知識。懷爾斯只向他的妻子透露了他的工作秘密。在最初兩年的工作中，懷爾斯利用伽羅瓦群論取得了進展，儘管他距離解決方案還有很長的路要走。1988 年 3 月 8 日，懷爾斯震驚地從《華盛頓郵報》上讀到，日本數學家宮岡洋一已經證明了費馬猜想。實際上，宮岡並沒有給出完整的證明，而是利用微分幾何，一個新的幾何分支，他提出了一些對最終解的最佳基礎。不幸的是，對於宮岡來說，他的證明有一個缺陷，雖然一開始看起來並不嚴重，但後來證明是災難性的，使得用這種技術無法進行費馬大定理的證明。最後，懷爾斯利用一種叫做科利瓦金-弗拉赫的方法，成功地將一個特定的橢圓曲線與其模形式相關聯。對於懷爾斯來說，問題是這種方法不能擴充套件到所有橢圓曲線。然後，懷爾斯將所有橢圓曲線分類成族，並修改了這種方法，使其適應單個族。
為了使用科利瓦金-弗拉赫方法，懷爾斯必須深入擴充套件他對代數幾何的知識，而他在這方面並不是很精通，所以最後他決定向該領域一位值得信賴的數學專家諮詢。因此，懷爾斯聯絡了他的部門的數學家尼克·卡茨。由於證明非常複雜且內容很多，在卡茨的書房裡進行非正式的討論是不夠的，為了消除所有的疑問，他們決定將他們的會面偽裝成一些研究生課程。懷爾斯會上課，而卡茨會和其他學生一起參加。懷爾斯以一種非常技術性和枯燥的方式上課，最終讓學生們失去了興趣。事實上，幾周後，只有卡茨還留在課堂上。懷爾斯在卡茨的幫助下，再次檢查了他的證明，證明是有效的。最後，懷爾斯迅速地消除了剩下的族，最後在 1993 年 5 月，懷爾斯完成了證明，連最後一個頑固的族也被消除了。
6 月下旬，劍橋舉行了一次關於 L 函式及其算術的會議。在這種情況下，在一些世界上最傑出的數學家面前，懷爾斯在三場會議中展示了他的證明。6 月 23 日，第三場也是最後一場會議舉行，長時間的掌聲結束了懷爾斯的最後一場會議。費馬大定理已被證明。全世界所有的報紙都報道了這一事件，在一個下午，懷爾斯成為了世界上最著名的數學家。
懷爾斯將證明寄給了期刊，以使期刊編輯能夠由合格的委員會對其進行驗證。鑑於證明的重要性與複雜性，期刊編輯將證明稿分成了六部分，分別交給了六位評審員。他們逐段分析手稿，並聯繫懷爾斯以澄清不明確的段落和推測的錯誤。其中一位評審員是卡茲，懷爾斯曾聯絡他以驗證科利瓦金-弗拉赫方法的正確應用。不幸的是，卡茲發現了錯誤。
最初，這似乎是複雜證明中常見的微不足道的錯誤之一。這些錯誤類似於疏忽，通常可以在幾個小時內糾正。但即使這個錯誤非常細微，它也非常陰險，事實上，懷爾斯未能消除它。隨著時間的推移，關於這個漏洞的傳言在數學界以及《紐約時報》等一般報紙上越來越盛行。最終，懷爾斯透過電子郵件告知數學界，證明中確實存在漏洞，但他預計在幾周內就能解決。幾個月過去了，他仍然無法解決這個問題，在朋友的建議下，他決定向科利瓦金-弗拉赫方法的專家尋求幫助，因此他聯絡了理查德·泰勒。泰勒是證明的評審員之一，也是懷爾斯的 पूर्व 學生。他們一起研究這個問題花了幾個月的時間，到夏天快結束的時候，懷爾斯變得非常沮喪，甚至公開向泰勒宣佈放棄，但泰勒說服他至少堅持到九月底。
9 月 19 日，懷爾斯正在分析科利瓦金-弗拉赫方法，試圖理解為什麼該方法失敗，這時他意識到，雖然該方法不足以證明，但它允許一種稱為巖澤方法的方法起作用。巖澤方法最初被懷爾斯用於證明，但被認為不足而被放棄。然而，這種方法與科利瓦金-弗拉赫方法結合使用，提供了一個有效的證明。
10 月 25 日，懷爾斯向媒體提交了兩份手稿。第一份手稿是費馬大定理的證明，上面簽著他的名字。第二份手稿詳細說明了一些橢圓曲線的性質，由懷爾斯和泰勒簽署。第二份手稿用於證明第一份手稿中的一段關鍵內容。這些手稿的發表，標誌著數學史上最複雜、最困難的證明之一的結束。
懷爾斯和泰勒並沒有完全證明谷山-志村猜想，實際上，所有情況的證明是在 1999 年由克里斯托弗·佈雷伊爾、布萊恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德和泰勒完成的，他們在懷爾斯的基礎上逐步證明了剩餘的猜想。