金融衍生品/基本衍生品合約

遠期

現貨市場允許今天買賣資產。 相反，遠期合約規定了未來某個日期可以購買或出售資產的價格。 儘管遠期合約在許多市場上被歸類為衍生品，但很難區分標的資產和遠期合約。 實際上，場外遠期的大量交易量可能使其比現貨市場更為重要。

遠期合約不需要預先付款。 它只是在未來某個日期以固定價格（遠期價格）購買或出售資產。 因此，假設遠期價格反映了該日期資產的價值。 如果此假設基於市場觀點，則將遠期合約歸類為衍生品是誤導性的。

將遠期合約歸類為衍生品的主要原因是，在許多情況下，它的價格可以透過無套利論證得出，該論證將資產的遠期價格與其現貨價格聯絡起來。 對於石油等資產，這是不可能的； 鑑於一桶石油的現貨價格，不可能構建一個將它與其遠期價格聯絡起來的套利論證。 在石油市場，遠期或期貨實際上是標的資產，不能理解為衍生品。 在這些市場中，石油的遠期價格與股票的價格性質相似：它反映了市場的當前共識，與風險中性估值無關。

在金融市場，遠期可以透過無套利論證確定。 例如，考慮一個關於美元兌歐元匯率的遠期。 如果今天一歐元可以兌換 1.3 美元 ($FX_{spot}$)，那麼為了確定一年後的遠期匯率，我們可以檢視以下交易組合，

• 我們買入一個保證以 $FX_{oneyear}$ 美元/歐元的匯率進行兌換的一年期遠期。
• 我們今天借入一美元。
• 我們將它兌換成 (1/1.3) 歐元，並將這筆錢存入存款賬戶。
• 一年後，我們將本金和利息取出，並以 $FX_{oneyear}$ 的匯率兌換回美元。

這筆交易到期時的淨現金流為：

$-(1+r_{USD})+{\frac {1}{FX_{spot}}}(1+r_{EUR})FX_{oneyear}$

在沒有套利機會的情況下，這筆交易的淨現金流應該為零，因此，

$FX_{oneyear}=FX_{spot}{\frac {(1+r_{USD})}{(1+r_{EUR})}}$

另一個例子是關於一年後到期的一年期零息債券的遠期合約。 鑑於一年期債券的價格為 $P_{1year}$，兩年期債券的價格為 $P_{2year}$，我們檢視以下交易組合，

• 一年後以遠期價格 $P_{1,1}$出售一年期零息債券。
• 今天買入一年期零息債券。
• 今天賣出兩年期零息債券。

由於 $P_{1year}>P_{2year}$，我們必須借入差額。一年後，我們從一年期債券獲得 1 美元，並支付借入金額的利息和本金。兩年期債券還有一年到期，我們將它轉讓給遠期買方，以換取 $P_{1,1}$。因此，一年內的淨現金流為：

$-(P_{1year}-P_{2year})(1+r_{1year})+1+P_{1,1}$

在沒有套利機會的情況下，這種現金流必須為零。由於：

$P_{1year}={\frac {1}{(1+r_{1year})}}$

我們得出結論：

$P_{1,1}=P_{2year}/P_{1year}$

值得注意的是，公式：

$P_{1year}={\frac {1}{(1+r_{1year})}}$

本身是基於“無套利”論證的，一年期債券可以看作是一年後收取一美元的“遠期合約”。鑑於 $r_{1year}$ 的值，如果一年期債券的價格與 $1/(1+r_{1year})$ 不同，就可以以 $P^{*}>P_{1year}$ 的價格出售一年期債券。到期時，將向債券購買者支付一美元，但由於出售所得款項將賺取 $P^{*}(1+r_{1year})$，這將足以支付這筆款項，並留下明顯的利潤。只有當 $P^{*}=1/(1+r_{1year})=P_{1year}$ 時，無套利條件才成立。

遠期合約的主要特點是：

• 它是雙方之間在未來某個約定時間買賣資產的協議。
• 資產的買賣價格在現在確定。
• 資產的轉移或交付將在未來約定的期限內進行。
• 合約的任何條款都可以由參與遠期合約的各方協商（非標準化）。
• 遠期合約的交易不透明。
• 現貨價格與遠期價格之間的差額稱為遠期溢價或遠期合約。
• 如果股票價格在未來上漲，投資者（買方）將獲利，而賣方將虧損。

期貨

期貨合約與遠期合約一樣，規定了在未來某個日期交割資產。期貨合約與遠期合約不同，

1. 要求期貨合約的買方或賣方 _繳納保證金_。
2. 具有 _最低保證金_ 要求；這些要求是透過 _保證金通知_ 實現的。
3. 使用 _盯市_ 過程。

這三個實踐中的要求並非期貨合約獨有。理解它們最好的方法是檢視具體的期貨合約。

玉米期貨合約在芝加哥商品交易所 (CBOT) 交易。該合約的規格非常嚴格，要求交割“2 號黃”玉米；如果交割其他等級的玉米，則支付的價格將進行調整 [1]。合約規模可以是 5,000 布什爾玉米的倍數。期貨可以購買以在 12 月、3 月、5 月、7 月和 9 月的月份交割玉米。在交割月份的第 15 個日曆日最近的營業日，該合約的交易停止。交割在交割月份的第 15 個日曆日之後的兩個營業日進行。

假設在 2007 年 1 月 24 日以 418 美分/布什爾的價格購買了 07 年 7 月合約的一手（5,000 布什爾）。交易所將要求買方繳納 _初始保證金_ 900 美元。如果買方沒有在她的交易所賬戶中存入這筆錢，她的訂單將無法執行。對於該合約，_維持保證金_ 是相同的；在該期貨合約的有效期內，賬戶餘額不能低於此水平；如果由於任何原因，賬戶餘額低於維持保證金，該合約的買方將收到 _保證金通知_。

在交易執行的日期，期貨合約的盯市價值為零。假設在下一個交易日，期貨合約的 *結算價* 為 418 3/4 美分/蒲式耳（結算價是指交易日結束時期貨合約的交易價格）。7 月 07 日玉米期貨的盯市價值為：

$MtM=5,000*(4183/4-418)=\$37.50$

買方賬戶的餘額現在為 937.50 美元。該賬戶類似於普通存款賬戶，其餘額可獲得利息。

如果 7 月 07 日玉米合約的市場價格在第二天下降，盯市價值可能會從 37.50 美元下降到 12.50 美元。在這種情況下，將從買方賬戶中提取 25 美元，餘額現在為 912.50 美元。

如果在該合約的最後一個交易日（2007 年 7 月 13 日）結算價為 420 1/4 美分/蒲式耳，則盯市價值為 112.50 美元。買方賬戶的最終餘額為 1012.50 美元加上已賺取的利息。由於將在 2007 年 7 月 17 日交付的玉米價值 21,012.50 美元，因此買方將向 *清算所* 支付此金額。清算所充當玉米生產者和買方之間的交易對手方，並確保付款和玉米交付到買方指定的倉庫。

由於交易者已賺取 112.50 美元（加上利息），因此實際上玉米交付的淨付款為 20,900 美元。這相當於為交付的玉米支付 418 美分/蒲式耳。因此，期貨合約使買方能夠以 418 美分/蒲式耳的原始價格購買玉米，並對價格變化進行對沖。

為了比較遠期合約的價格 $F_{0}$ 和期貨合約的價格 $\Phi _{0}$，我們來看一下以下交易組合：

• 我們賣出一份遠期合約，以 $F_{0}$ 的價格在未來某個日期交付特定數量的玉米。
• 對於日期 $i=0,1,2,...,N-1$，我們購買 $q_{i}$ 數量的期貨合約，以滿足以下條件：
  • $q_{0}(1+r_{1})^{N-1}=1$
  • $(q_{0}+q_{1})(1+r_{2})^{N-2}=1$
  • ...
  • $(q_{0}+q_{1}+...+q_{N-1})(1+r_{N-1})=1$

其中 $r_{i}$ 是從日期 $i$ 開始，到日期 $N$ 結束的期間適用的每日利率。這組方程可以遞迴求解。日期 $N$ 的保證金賬戶價值將為：

$\sum _{i=1}^{N-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}q_{j}\right)(1+r_{i})^{N-i}[\Phi _{i}-\Phi _{i-1}]$

為了理解最後一個等式，我們知道在日期 $i$，購買的期貨總量為 $q_{0}+q_{1}+...+q_{i-1}$。到日期 $i$ 結束時，盯市變化等於 $(q_{0}+q_{1}+...+q_{i-1})(\Phi _{i}-\Phi _{i-1})$。根據變化方向 $\Phi _{i}-\Phi _{i-1}$，這是一個盈利或虧損，並在合約到期日賺取或需要支付本金加利息。

鑑於產生 $q_{i}$ 解的條件，最後一個等式等於 $\Phi _{N}-\Phi _{0}$。由於在到期日，期貨價格等於標的資產的現貨價格，因此 $F_{N}=\Phi _{N}$，如果 $\Phi _{0}$ 不同於 $F_{0}$，則可以產生無風險利潤。請注意，進入一系列期貨合約沒有任何成本，並且根據差異 $F_{0}-\Phi _{0}$ 的符號，該策略可以反轉。因此，遠期價格必須等於期貨價格。

本分析中使用的策略假設，當我們購買額外的 $q_{i}$ 量期貨合約時，我們知道期間 $i+1$ 到 $N$ 的利率。由於在實踐中，實際利率的值是未知的，因此假設我們可以鎖定一個遠期利率。但是，由於我們無法預測期間 $i$ 到 $i+1$ 的期貨合約盯市變化，我們不知道必須購買的名義本金。

假設在日期 $i$，我們假設期貨的市值不會發生變化，因此無需鎖定期間 $i+1$ 到 $N$ 的遠期利率。由於最有可能的情況是我們的預測是錯誤的，我們將不得不在期間 $r_{i+1}$ 的現貨利率下借入或存入實際的市值變化。

只要我們對市值變化的估計誤差與現貨利率無關，我們就可以預期成本/收益會平衡到零。但是，如果期貨合約的市值變化是現貨利率的函式，那麼成本/收益將不會平衡到零，上面描述的期貨策略將無法複製遠期的收益。我們得出結論，當期貨合約是利率的函式時，期貨價格將不等於遠期價格。

另一個例外發生在期貨價格在一個日期到下一個日期之間發生大幅變動時。“大幅變動”的意思是指一天的波動佔 $\Phi _{0}$ 和 $\Phi _{N}$ 之差的很大一部分。在這種情況下，在發生這種大幅價格變動的日期，在遠期利率下鎖定的名義價值的誤差大到足以放大我們對市值變化的估計誤差。此外，所有後續的市值變化都小得多，無法平衡這種成本/收益。幸運的是，大多數交易所限制期貨價格從一個日期到下一個日期之間的最大變化。但是，如果這種大幅價格波動是可能的，那麼即使期貨價格不是利率的函式，假設它等於遠期價格也是錯誤的。

一般來說，除非利率具有確定性的期限結構，否則無法透過靜態套利策略推匯出期貨價格與遠期價格之間的關係。推匯出資產期貨價格與遠期價格之間的關係是動態套期保值 [Black 1976] 的第一個應用之一。

期貨合約的主要特點是

• 它是一種標準化合約，以數量、到期日和結算程式等條款制定。
• 期貨合約的交易完全透明。
• 它在有組織的交易所交易，並每天進行“盯市”。
• 幾乎從未進行標的資產的實物交割。

掉期

掉期是一種協議，約定在未來一段時間內以相同或不同的貨幣交換一系列現金流。掉期主要用於對沖各種利率風險敞口，它們非常流行，並且是流動性極高的工具。一些非常流行的掉期型別是

固定 - 浮動 (相同貨幣) 一方 P 以貨幣 A 支付/接收固定利率，以接收/支付貨幣 A 的浮動利率，該利率以 X 為指數，名義本金為 N，期限為 T 年。例如，您每月支付 5.32% 的固定利率，以接收名義本金為 100 萬美元，期限為 3 年的每月 100 萬美元的美元 Libor。相同貨幣的固定 - 浮動掉期用於將固定/浮動利率資產/負債轉換為浮動/固定利率資產/負債。例如，如果一家公司擁有 5.3% 的每月支付固定利率 1000 萬美元的貸款和 1000 萬美元的浮動利率投資，該投資每月回報 100 萬美元的美元 Libor +25 個基點，並且希望鎖定利潤，因為他們預計 100 萬美元的美元 Libor 將下降，那麼他們可能會進入固定 - 浮動掉期，其中公司支付浮動 100 萬美元的 Libor+25 個基點，並接收 5.5% 的固定利率，從而鎖定 20 個基點的利潤。

固定 - 浮動 (不同貨幣) 一方 P 以貨幣 A 支付/接收固定利率，以接收/支付貨幣 B 的浮動利率，該利率以 X 為指數，名義本金為 N，初始匯率為 FX，期限為 T 年。例如，您每月支付 1000 萬美元的名義本金的固定利率 5.32%，以接收名義本金為 12 億日元（初始匯率為 USDJPY 120），期限為 3 年的每月日元 3 個月 Tibor。對於不可交割掉期，日元利息的美元等值將支付/接收（根據利息支付日 FX 定盤日的匯率）。請注意，在這種情況下，除非 FX 定盤日和掉期起始日落在未來，否則不會發生名義本金的初始交換。不同貨幣的固定 - 浮動掉期用於將一種貨幣的固定/浮動利率資產/負債轉換為另一種貨幣的浮動/固定利率資產/負債。例如，如果一家公司擁有 5.3% 的每月支付固定利率 1000 萬美元的貸款和 12 億日元的浮動利率投資，該投資每月回報 100 萬日元的日元 Libor +50 個基點，並且希望鎖定美元利潤，因為他們預計 100 萬日元的日元 Libor 將下降或 USDJPY 將上漲（日元兌美元貶值），那麼他們可能會進入不同貨幣的固定 - 浮動掉期，其中公司支付浮動 100 萬日元的 Libor+50 個基點，並接收 5.6% 的固定利率，從而鎖定 30 個基點的利潤，對沖利率和匯率風險。

浮動 - 浮動 (相同貨幣，不同指數) 一方 P 以貨幣 A 支付/接收以 X 為指數的浮動利率，以接收/支付貨幣 B 的浮動利率，該利率以 Y 為指數，名義本金為 N，期限為 T 年。例如，您每月支付 100 萬日元的日元 Libor，以接收名義本金為 10 億日元的每月 100 萬日元的日元 Tibor，期限為 3 年。

在這種情況下，公司希望鎖定因利差擴大或縮小而產生的成本。例如，如果一家公司擁有 100 萬日元的日元 Libor 浮動利率貸款，並且公司擁有 100 萬日元的日元 Tibor+30 個基點的投資，目前 100 萬日元的日元 Tibor = 100 萬日元的日元 Libor +10 個基點。目前，該公司有 40 個基點的淨利潤。如果該公司認為 100 萬日元的日元 Tibor 將下降或 100 萬日元的日元 Libor 將在未來上漲，並且希望避免這種風險，他們可以在相同貨幣中進行浮動 - 浮動掉期，其中他們支付 100 萬日元的 Tibor +10 個基點，並接收 100 萬日元的 Libor+35 個基點。透過這樣做，他們實際上鎖定了 35 個基點的利潤，而不是冒著目前的 40 個基點的收益和指數風險。5 個基點的差異來自掉期成本，包括掉期交易商對未來這兩個指數利率的市場預期以及買入價/賣出價差，即掉期交易商的佣金。

浮動 - 浮動 (不同貨幣) 一方 P 以貨幣 A 支付/接收以 X 為指數的浮動利率，以接收/支付貨幣 A 的浮動利率，該利率以 Y 為指數，名義本金為 N，初始匯率為 FX，期限為 T 年。例如，您每月支付 1000 萬美元的名義本金的季度 100 萬美元的美元 Libor，以接收名義本金為 12 億日元（初始匯率為 USDJPY 120），期限為 4 年的每月日元 3 個月 Tibor。

為了解釋這種掉期型別的用途，請考慮一家在美國經營並在日本開展業務的公司。為了為他們在日本的增長提供資金，他們需要 100 億日元。對於該公司來說，最簡單的選擇是在日本發行債務。由於該公司可能在日本市場上是新手，在日本投資者中沒有良好的聲譽，這可能是一個昂貴的選擇。除此之外，該公司可能沒有在日本進行適當的債務發行計劃，並且他們可能缺乏在日本的複雜財務操作。為了克服上述問題，他們可以發行美元債務並將其在匯率市場上轉換為日元。雖然此選項解決了第一個問題，但它給公司帶來了兩個新的風險。1. 匯率風險。如果 USDJPY 現貨在債務到期時上漲，那麼當公司將日元轉換為美元以償還其到期債務時，他們將收到更少的美元，並遭受損失。2. 美元和日元利率風險。如果日元利率下降，日本投資的回報可能會下降，從而引入利率風險因素。

上述第一個風險敞口可以透過遠期外匯合約進行對沖，但這樣做會引入新的風險，即 FX 現貨和 FX 遠期的隱含利率是固定利率，但日元投資回報是浮動利率。儘管有一些替代方案可以有效地對沖這兩種風險敞口，而不會引入新的風險，但最簡單、最具成本效益的替代方案是使用不同貨幣的浮動 - 浮動掉期。在此，該公司透過發行美元債務籌集美元，並將其掉期為日元。他們收到美元浮動利率（因此與美元債務的利息支付相匹配），並支付與日元投資回報相匹配的日元浮動利率。

固定 - 固定 (不同貨幣) 一方 P 以貨幣 A 支付/接收固定利率，以接收/支付貨幣 B 的固定利率，期限為 T 年。例如，您支付名義本金為 12 億日元的固定利率 1.6%，並接收名義本金為 1000 萬美元（初始匯率為 USDJPY 120）的固定利率 5.36%。

用法與上述類似，但您接收美元固定利率並支付日元固定利率。

--192.147.54.3 05:07, 29 June 2007 (UTC)M G Naidu

主要用作對沖工具，以應對不同的利息支付。基本概念很容易理解；您可以將固定利率換成浮動利率，反之亦然。對於發行浮動利率債券的公司，它們可以與經紀人或交易商簽訂掉期協議；公司根據協議向經紀人支付固定利率，經紀人則為公司提供浮動利率，用於支付定期利息。實質上，公司已對沖了其因利率突然上升而產生的風險，因為它在一段時間內被鎖定在固定利率。掉期可以透過一方向對方支付一定費用來終止，該費用可能在初始協議簽訂時已確定，也可能根據未來的支付情況（如果利率保持不變）而確定。

期權

期權是一種金融工具，賦予持有人在未來某個日期或之前以預先確定的價格（執行價格）購買或出售一定數量的股票的權利。它可以定義為兩個投資者（即看漲期權賣出者和期權買入者）之間的合同。

股票期權有兩種型別

• 看漲期權：看漲期權賦予買入者以行使價格購買給定股票的權利。因此，當買入者看漲標的證券時，通常會買入看漲期權。看漲期權的價值可以透過以下公式計算：

V_c= Max.(V_s-- E,0)

其中，

V_c = 看漲期權的價值

Max = 最大值

0 = 零

V_s = 股票的價值

E = 行使價格或執行價格

盈虧

買入者 = V_c - 保險費

賣出者 = 保險費 - V_c

盈虧平衡點

買入者 = 行使價格 + 支付的保險費

賣出者 = 行使價格 + 收到的保險費

• 看跌期權：類似地，買入看跌期權賦予您以行使價格出售標的股票的權利。當買入者看跌標的證券時，會買入看跌期權。看跌期權的價值可以透過以下公式計算：

V_p= Max(E - V_s-,0)

其中，

V_p = 看跌期權的價值

Max = 最大值

0 = 零

V_s = 股票的價值

E = 行使價格或執行價格

盈虧

買入者 = V_p - 保險費

賣出者 = 保險費 - V_p

盈虧平衡點

買入者 = 行使價格 - 支付的保險費

賣出者 = 行使價格 - 收到的保險費

每個期權都有一個“行使日期”。歐式期權只能在行使日期行使，而美式期權可以在行使日期之前的任何時間行使。

由於看漲期權-看跌期權平價，如果其中一個期權不可用，則可以建立人工看漲期權或看跌期權。看跌期權也可以用作對沖工具，以防標的股票價值下降。

雖然波動率高（修正久期）的股票風險較高，但標的股票波動率高的期權實際上更好。如果股票按照其波動率上漲，它們提供更高的潛在收益，而損失額相同。

遠期期權

在這種情況下，期權所基於的標的資產是遠期合約。存在遠期合約交易的市場。我們不對遠期價格的 s.d.e. 強加鞅性。相反，給定當前遠期價格 $F(t,T)$，

${\frac {dF(t,T)}{F(t,T)}}=\mu dt+\sigma dW(t)$

為了簡化分析，我們假設 $\mu$ 和 $\sigma$ 是正的常數。具有任意行使價格 $K$ 的遠期合約的市值是，

$V(t,T)=B(t,T)[F(t,T)-K]$

其中 $B(t,T)=\exp[-r(T-t)]$，而 $r$ 是無風險利率。遠期期權賦予期權買入者在未來某個日期 ${\displaystyle T$ 以行使價格 $K$ 和到期日 $T^{*}$ 購買遠期合約的權利。讓我們以精算方法盲目地對該期權進行定價。這種方法要求期權的價格是透過對遠期價格的“真實”分佈下的收益期望來計算的，

$C(t,T)=B(t,T)\mathbf {E} _{t}\left\{B(T,T^{*})[F(T,T^{*})-K]^{+}\right\}$

其中，

$F(T,T^{*})=F(t,T^{*})\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)+\sigma {\sqrt {T-t}}U\right]$

以及 $U$ 是一個標準正態隨機變數。該期望值有一個簡單的解，

$C(t,T^{*})=B(t,T^{*})[Fexp[\mu (T-t)]N(d_{1})-KN(d2)]$

其中，

$d1={\frac {\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+\left(\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$N(x)=Prob(U>x)$ 以及 $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$。同理，看跌期權的價格由下式給出：

$P(t,T^{*})=B(t,T^{*})[-F\exp[\mu (T-t)]N(-d_{1})+KN(-d2)]$

在沒有套利的情況下，看漲看跌平價要求以下等式成立：

$C(t,T^{*})-P(t,T^{*})=V(t,T^{*})$

這等價於：

$F\exp[\mu (T-t)]-K=F-K$

這隻有在 $\mu =0$ 的情況下才有可能。這種透明的方法，首先由 Emanuel Derman 和 Nassim Taleb 提出 [2]，在不需要對動態對沖的可行性做出不切實際的假設的情況下，產生了無套利的期權價格。我們所做的唯一假設是關於遠期價格的“真實”機率分佈函式。如果我們選擇更一般的方法，其中 $F(T,T^{*})$ 具有任意機率分佈函式，那麼看漲期權的價值由下式給出：

$\mathbf {E} _{t}\left\{[F(T,T^{*})-K]^{+}\right\}=\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}{\tilde {P}}(F(T,T^{*})>K)-KP(F(T,T^{*})>K)$

其中$P(\cdot )$ 是“真實”機率分佈，而${\tilde {P}}(\cdot )$ 是具有以下性質的機率分佈：

$d{\tilde {P}}(F(T,T^{*}))={\frac {F(T,T^{*})}{\mathbf {E} _{t}\{F(T,T^{*})\}}}dP(F(T,T^{*}))$

同樣，看跌期權的價值由下式給出：

$\mathbf {E} _{t}\left\{[K-F(T,T^{*})]^{+}\right\}=-\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}{\tilde {P}}(F(T,T^{*})<K)+KP(F(T,T^{*})<K)$

根據看漲看跌期權平價：

$B(t,T^{*})[\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}-K]=B(t,T^{*})[F(t,T)-K]$

因此：

$\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}=F(t,T)$

即，在任意“真實”分佈下，遠期期權的定價使用遠期價格的鞅性。

兩種資產價格乘積的期權

金融行業的發展催生了被稱為“奇異期權”的衍生產品。這些期權通常基於由交易價格衍生出的指數，但這些指數本身並不交易。根據投資者的偏好，指數可以是多個資產價格的函式，並且可以從這些資產價格在單個或一系列觀測中的價值確定。奇異期權可以使用分析方法或數值技術進行定價。所有奇異期權的定價框架基於 Black-Scholes 期權定價理論，其中動態套利用於獲得期權價格的無套利方程。雖然我們總能為所有奇異期權獲得一個偏微分方程，但並非總是能獲得解析解。但是，存在大量奇異期權可以得到解析解。兩種資產價格乘積的期權就有一個解析解。

給定兩種交易資產，可以建立一個指數，其中指數在某個時間$t$ 的價值定義為：

$S(t)={\frac {P_{1}(t)P_{2}(t)}{P_{1}(0)P_{2}(0)}}$

其中$t=0$ 是建立指數的時間，並且$S(0)=1$。可以在該指數上編寫期權，並在到期日$T$ 支付：

$C(T)=\max[S(T)-1,0]$

由於期權僅是 $P_{1}$，$P_{2}$ 和 $t$ 的函式，給定兩種資產價格的隨機微分方程，

${\frac {dP_{1}(t)}{P_{1}(t)}}=m_{1}dt+\sigma _{1}dW_{t}^{1}$

${\frac {dP_{2}(t)}{P_{2}(t)}}=m_{2}dt+\sigma _{2}dW_{t}^{2}$

(其中 $dW_{t}^{1}dW_{t}^{2}=\rho dt$) 伊藤引理可以應用於期權價格，得到，

$dC=\left[{\frac {\partial C}{\partial t}}+m_{1}P_{1}(t){\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}+m_{2}P_{2}(t){\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}(t)P_{2}(t){\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}\right]dt+\sigma _{1}{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}P_{1}(t)dW_{t}^{1}+\sigma _{2}{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}P_{2}(t)dW_{t}^{2}$

因此，包含 1 美元期權、$-\partial C/\partial P_{1}$ 的資產 1 和 $-\partial C/\partial P_{2}$ 的資產 2 的投資組合必須具有以下隨機微分方程，

$d\left(C-{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}P_{1}(t)-{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}P_{2}(t)\right)=\left[{\frac {\partial C}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}(t)P_{2}(t){\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}\right]dt$

由於該投資組合沒有風險來源，在沒有套利的情況下，它必須具有等於無風險利率的瞬時回報$r$。因此，最後一個方程產生了以下偏微分方程。

$rC={\frac {\partial C}{\partial t}}+rP_{1}{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}+rP_{2}{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}P_{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}$

從該期權的收益函式中，我們可以推斷出定價方程可以轉化為一個二維方程，變數為$t$ 和 $P=P_{1}P_{2}$。請注意，

${\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}=P_{2}{\frac {\partial C}{\partial P}}$

${\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}=P_{1}{\frac {\partial C}{\partial P}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}=P_{2}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}=P_{1}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}=P_{1}P_{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}+{\frac {\partial C}{\partial P}}$

因此，偏微分方程可以簡化為：

$rC={\frac {\partial C}{\partial t}}+mP{\frac {\partial C}{\partial P}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}P^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

其中，

$m=2r+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho$

並且：

$\sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}$

以及邊界條件 $C(T)=\max[P(T)/P(0)-1]$。該偏微分方程是看漲期權的布萊克-斯科爾斯偏微分方程，可以求解得到：

$C(0)=\exp[(m-r)T]N(h_{1})-\exp[-rT]N(h_{2})$

其中，

$h_{1}={\frac {\left(m+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right){\sqrt {T}}}{\sigma }}$

$h_{2}={\frac {\left(m-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right){\sqrt {T}}}{\sigma }}$

同樣的結果可以從兩種資產的風險中性過程開始得到。

${\frac {dP_{1}(t)}{P_{1}(t)}}=rdt+\sigma _{1}d{\tilde {W}}_{t}^{1}$

${\frac {dP_{2}(t)}{P_{2}(t)}}=rdt+\sigma _{2}d{\tilde {W}}_{t}^{2}$

利用伊藤引理，兩種價格乘積的過程為：

${\frac {dP(t)}{P(t)}}=mdt+\sigma dW_{t}$

使用偏微分方程匯出的定價方程如下。

高階結構

理論上，期權的價格（或期權溢價）包含兩個要素：期權的內在價值和時間價值。因此，溢價 = 內在價值 + 時間價值。

期權的價格包含五個因素：執行價格、標的資產價格、到期時間、無風險利率和波動率。由於前四個因素可以從市場中讀出，因此期權價格中唯一未知的因素是波動率。