金融衍生品/隨機微積分導論

隨機過程

隨機過程 $X$ 是隨機變數的索引集合

$X_{t}(\omega )$

其中 $\omega \in \Omega$ 是我們的樣本空間，而 $t\in T$ 是過程的索引，可以是離散的或連續的。通常，在金融領域， $T$ 是一個區間 $[a,b]$ ，我們處理的是連續過程。在本篇文字中，我們將 $T$ 解釋為時間。

如果我們固定一個 $t\in T$ ，隨機過程就變成了隨機變數

$X_{t}=X_{t}(\omega )$

另一方面，如果我們將隨機實驗的結果固定為 $\omega \in \Omega$ ，我們將得到時間的確定性函式：過程的實現或樣本路徑。

隨機過程 $W_{t}(\omega )$ ，其中 $t\in [0,\infty ]$ ，如果滿足以下條件，則稱為維納過程（或布朗運動）

- $W_{0}=0$

- 它具有獨立的、平穩的增量。令 $s\leq t$ ，則： $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ 是獨立的。並且 $X_{t}-X_{s}=X_{t+h}-X_{s+h}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$

- $W_{t}$ 幾乎處處連續