金融數學 FM/公式

基本公式

\ a(t)

: 累積函式。衡量在 t 期末，投資於 0 期的 1 元資金的金額。

\ a(t)-a(t-1)

: t 期的增長額。

\ s_{t}={\frac {a(t)-a(t-1)}{a(t-1)}}

: t 期的增長率，也稱為 t 期的有效利率。

\ A(t)=k\cdot a(t)

: 金額函式。衡量在 t 期末，投資於 0 期的 k 元資金的金額。它只是常數 k 乘以累積函式。

常見的累積函式

\ a(t)=1+i\cdot t

: 單利。

\ a(t)=\prod _{j=1}^{t}(1+i_{j})

: 變利率

\ a(t)=(1+i)^{t}

: 複利。

\ a(t)=e^{t\cdot i}

: 連續複利。

現值和折現

\ PV={\frac {1}{a(t)}}={\frac {1}{(1+i)^{t}}}=(1+i)^{-t}=v^{t}

\ d_{t}={\frac {a(t)-a(t-1)}{a(t)}}

t 年的有效折現率。

\ 1-d=v

\ d={\frac {i}{1+i}}=i\cdot v

\ i={\frac {d}{1-d}}

名義利率和貼現

i^{(m)}

和

d^{(m)}

是按 m 次複利計息的名義利率的符號。

1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}

i^{(m)}=m\left((1+i)^{\frac {1}{m}}-1\right)

1-d=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{m}

d^{(m)}=m(1-(1-d)^{\frac {1}{m}})

利息力

\delta _{t}={\frac {1}{a(t)}}{\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}\ln a(t)

: 利息力的定義。

a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{r}\,dr}

如果利息力是常數： $a(t)=e^{\delta t}$

PV=e^{-\delta t}

\delta =\ln(1+i)

年金和永續年金

年金

a_{\overline {n|}}={\frac {1-v^{n}}{i}}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}

: 即期年金的現值。

{\ddot {a}}_{\overline {n|}}={\frac {1-v^{n}}{d}}=1+v+v^{2}+\cdots +v^{n-1}

: 償付在先年金的現值。

{\ddot {a}}_{\overline {n|}}=(1+i)a_{\overline {n|}}=1+a_{\overline {n-1|}}

s_{\overline {n|}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots +1

: 償付在後年金的終值（在最後一次存款的日期）。

{\ddot {s}}_{\overline {n|}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}}=(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+\cdots +(1+i)

: 償付在先年金的終值（在最後一次存款後的一個週期）。

{\ddot {s}}_{\overline {n|}}=(1+i)s_{\overline {n|}}=s_{\overline {n+1|}}-1

a_{\overline {mn|}}=a_{\overline {n|}}+v^{n}a_{\overline {n|}}+v^{2n}a_{\overline {n|}}+\cdots +v^{(m-1)n}a_{\overline {n|}}

永續年金

\lim _{n\to \infty }a_{\overline {n|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1}{i}}=v+v^{2}+\cdots =a_{\overline {\infty |}}

: 償付在後永續年金的現值。

\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{\overline {n|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d}}={\frac {1}{d}}=1+v+v^{2}+\cdots ={\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}

: 永續年金現值的計算。

{\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}-a_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{d}}-{\frac {1}{i}}=1

每月年金和永續年金

$a_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {i}{i^{(m)}}}a_{\overline {n|}}=s_{\overline {1|}}^{(m)}a_{\overline {n|}}$ : n 年期普通年金現值，每年支付 1 元，每月等額分期支付。

${\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}={\frac {i}{d^{(m)}}}a_{\overline {n|}}={\ddot {s}}_{\overline {1|}}^{(m)}a_{\overline {n|}}$ : n 年期預付年金現值，每年支付 1 元，每月等額分期支付。

$s_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i^{(m)}}}$ : n 年期普通年金終值，每年支付 1 元，每月等額分期支付。

${\ddot {s}}_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d^{(m)}}}$ : n 年期預付年金終值，每年支付 1 元，每月等額分期支付。

$\lim _{n\to \infty }a_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {1}{i^{(m)}}}=a_{\overline {\infty |}}^{(m)}$ : 每年支付 m 次的永續年金現值。

$\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}={\frac {1}{d^{(m)}}}={\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}^{(m)}$ : 每年支付 m 次的永續年金現值，年金在期初支付。

${\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}^{(m)}-a_{\overline {\infty |}}^{(m)}={\frac {1}{d^{(m)}}}-{\frac {1}{i^{(m)}}}={\frac {1}{m}}$

連續年金

因為 $\lim _{m\to \infty }i^{(m)}=\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\delta$ ,

$\lim _{m\to \infty }a_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}={\overline {a}}_{\overline {n|}}={\frac {i}{\delta }}a_{\overline {n|}}$ : 每年連續支付的年金（即期或預付）現值。

等差數列的付款：一般來說， $n$ 次付款的現值，其中首次付款為 $P$ ，每次增加的付款為 $Q$ 可以表示為： $A=Pa_{\overline {n|}}+Q{\frac {a_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i}}=Pv+(P+Q)v^{2}+(P+2Q)v^{3}+\cdots +(P+(n-1)Q)v^{n}$

同樣地： ${\ddot {A}}=P{\ddot {a}}_{\overline {n|}}+Q{\frac {a_{\overline {n|}}-nv^{n}}{d}}$

$S=Ps_{\overline {n|}}+Q{\frac {s_{\overline {n|}}-n}{i}}$ : $n$ 次付款的終值，其中首次付款為 $P$ ，每次增加的付款為 $Q$ 。

${\ddot {S}}=P{\ddot {s}}_{\overline {n|}}+Q{\frac {s_{\overline {n|}}-n}{d}}$

$(Ia)_{\overline {n|}}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i}}$ : 首次付款為 1，每次增加的付款為 1 的即期年金的現值；將 $d$ 代入分母中的 $i$ 以獲得應計形式。

$(Is)_{\overline {n|}}={\frac {{\ddot {s}}_{\overline {n|}}-n}{i}}$ : 即期年金現值，首期付款為 1，後續每期付款增加 1；將分母中的 $i$ 替換為 $d$ 以獲得到期形式。

$(Da)_{\overline {n|}}={\frac {n-{a}_{\overline {n|}}}{i}}$ : 即期年金終值，首期付款為 $n$ ，後續每期付款遞減 1；將分母中的 $i$ 替換為 $d$ 以獲得到期形式。

$(Ds)_{\overline {n|}}={\frac {n(1+i)^{n}-{s}_{\overline {n|}}}{i}}$ : 即期年金現值，首期付款為 $n$ ，後續每期付款遞減 1；將分母中的 $i$ 替換為 $d$ 以獲得到期形式。

$(Ia)_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{id}}={\frac {1}{i}}+{\frac {1}{i^{2}}}$ : 永續即期年金現值，首期付款為 1，後續每期付款增加 1。

$(I{\ddot {a}})_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{d^{2}}}$ : 永續到期年金現值，首期付款為 1，後續每期付款增加 1。

$(Ia)_{\overline {n|}}+(Da)_{\overline {n|}}=(n+1)a_{\overline {n|}}$

${\frac {P}{i}}+{\frac {Q}{i^{2}}}$ : 永續年金現值，首期付款為 $P$ ，每次追加付款增加 $Q$ 。

$(Ia)_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i^{(m)}}}$ : 年金現值，每年m次付款，首年付款為 ${\frac {1}{m}}$ ，每年遞增，直到第n年付款為 ${\frac {n}{m}}$ 。

$(I^{(m)}a)_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}-nv^{n}}{i^{(m)}}}$ : 年金現值，每年m次付款，首年第1個月末付款為 ${\frac {1}{m^{2}}}$ ，第2個月末付款為 ${\frac {2}{m^{2}}}$ ，以此類推，直到第n年第m個月末付款為 ${\frac {mn}{m^{2}}}$ 。

$({\overline {I}}{\overline {a}})_{\overline {n|}}={\frac {{\overline {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{\delta }}$ : 連續年金現值，付款率連續增長。時間t的年付款率為 $t$ 。

$\int _{0}^{n}f(t)v^{t}dt$ : 年金現值，付款率隨時間變化，利率固定。

$\int _{0}^{n}f(t)e^{-\int _{0}^{t}\delta _{r}dr}dt$ : 連續變動付款利率和連續變動利率的年金現值。

等比級數付款

${\frac {1-({\frac {1+k}{1+i}})^{n}}{i-k}}$ : 首付款為 1，每期付款增加 $(1+k)$ 倍的即期年金現值。第五章

一般定義

$R_{t}$ : $t$ 時刻的付款。負值代表投資，正值代表回報。

$P(i)=\sum {v^{t}R_{t}}$ : $i$ 利率下的現金流現值。第六章

$R_{t}=I_{t}+P_{t}$ : $t$ 年末的付款，分為利息 $I_{t}$ 和償還本金 $P_{t}$ 。

$I_{t}=iB_{t-1}$ : $t$ 年末支付的利息。

$P_{t}=R_{t}-I_{t}=(1+i)P_{t-1}+(R_{t}-R_{t-1})$ : $t$ 年末償還的本金。

$B_{t}=B_{t-1}-P_{t}$ : 第 $t$ 年年末，支付完款後剩餘的餘額。

關於分期償還貸款

$I_{t}=1-v^{n-t+1}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 貸款上的利息支付。

$P_{t}=v^{n-t+1}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 貸款上的本金償還。

$B_{t}=a_{\overline {n-t|}}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 貸款上的剩餘餘額，支付完款後。

對於一筆 $L$ 的貸款， ${\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}$ 的等額分期付款將在 $n$ 年內還清。為了在時間 $t$ 衡量利息，本金和欠款，將上述 $I_{t}$ ， $P_{t}$ 和 $B_{t}$ 乘以 ${\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}$ ，即 $B_{t}={\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}a_{\overline {n-t|}}$ 等。

收益率

I=B-A-C

i={\frac {I}{A+\sum _{t_{k}}C_{t_{k}}(1-t_{k})}}

: 美元加權

(1+i)=\prod _{t_{k}}^{t}\left({\frac {B_{t_{k}}}{B_{t_{k-1}}+C_{t_{k-1}}}}\right)

: 時間加權

償債基金

$PMT=Li+{\frac {L}{s_{{\overline {n|}}j}}}$ : 使用償債基金方法的總年度付款，其中 $Li$ 是支付給貸方的利息，而 ${\frac {L}{s_{{\overline {n|}}j}}}$ 是存入償債基金的存款，將在 $n$ 年內累積至 $L$ 。 $i$ 是貸款的利率，而 $j$ 是償債基金獲得的利率。