有限模型理論/FO 區域性性
基本思想：將關係結構中的鄰域與用特定語言編寫的查詢結合起來。就像一塊土地和一座具有視覺範圍的瞭望塔一樣，鄰域具有其覆蓋的某種範圍，而查詢可能具有一種操作距離，在其上它們可以關聯元素。
此類查詢被稱為具有區域性性屬性。現在這個概念可以擴充套件到整個語言。例如，對於 FO，可以證明所有 FO 查詢都具有區域性性屬性。
具有 1 個關係的宇宙：距離-1-鄰居
擴充套件 a：距離-2-鄰居
擴充套件 b：2 個具有 d-1-鄰居的關係
擴充套件 a+b：...
我們將蓋夫曼圖定義為結構 S 的所有關係的某種疊加，然後利用它來測量 S 的元素之間的距離，換句話說，在由 S 的關係鋪設的路徑上，從一個元素走到另一個元素需要多遠。
令 S 是一個具有宇宙 U 和關係 Ri 的關係結構。圖 G (N, E) 被稱為 S 的蓋夫曼圖，當且僅當 N = U，對於所有 e 存在一些 Ri 中的 r 或 e = (u, u)。
- G 是自反的
- Ri 中的邊的方向在 G 中無關緊要
- 如果 S 是一個圖，G 基本上是相同的，外加自反性
- 如果 S 是一個有向圖，G 基本上是相同的，外加自反性，外加對稱性（即邊失去方向）
- 如果 S 只有關係 R1 和 R2，G 是它們的並集，外加自反性，外加對稱性
- 在示例影像中，蓋夫曼圖 (a) 是透過“疊加”邊，“忘記”方向並新增迴圈，從 2 個關係（有向圖）藍 (b) 和綠 (c) 派生出來的。
令 S 是一個具有宇宙 U 的結構，其中包含元素 u1、u2 和蓋夫曼圖 G。G 中 u1 和 u2 之間最短路徑的長度...被稱為 u1 和 u2 之間的距離（在 S 中）。
令 S 是一個具有宇宙 U 的結構，其中包含子集 U1、U2 和蓋夫曼圖 G。那麼 U1 和 U2 的元素之間的最小距離被稱為 U1 和 U2 之間的距離（在 S 中）。
- 元素示例：更短的路徑，無限的，零
- 集合示例：路徑，零？
首先，球體被定義為結構 S 的元素的子集。接下來，鄰域被定義為 S 的部分結構，基於一個球體。
令 S 是一個具有宇宙 U 的關係結構，a 是一個序列，r 是一個自然數。U 的元素的集合被稱為以 a 為中心的半徑為 r 的球體，B(S, r; a)，當且僅當
B(S, r; a) = { u | d(a, u) le r }
令 B(S, r; a) 是一個以 a 為中心的球體。那麼結構 N(Sn, r; a) 被稱為 Sn 中 a 的 r-鄰域，其中 Sn 具有
- 宇宙 B(S, r; a)
- S 中的每個關係，限制到 B
- a 的元素作為附加常量 a1, ..., a_n
- “區域性看起來一樣”的示例
- 同構：ai -> bi - 重疊？
- => 等價類隨著半徑增加而分解 - 沒有類交換？
1-鄰域：{1, 6,7}，{2, 3,5}，{4}，{8, 9}
2-鄰域：{1, 6}，{7}，{2}，{3}，{5}，{4}，{8, 9}