有限模型論/模型論

許多模型論的重要定理在限制到有限情況時不成立，比如哥德爾完備性定理或緊緻性定理

緊緻性定理的失敗

考慮以下句子 σ3

$\exists _{x}\exists _{y}\exists _{z}(x\neq y\land y\neq z\land x\neq z)$

它表示在一個宇宙中至少有 3 個不同的元素。對於不等於 3 的 n，可以輕鬆擴充套件 σ3。因此，令 Σ = {σ1, σ2, σ3, ...} 是所有這些句子的無限集合。現在 Σ 顯然不能被有限模型滿足，儘管 Σ 的每一個有限子集都能被滿足。好吧，但這為什麼重要？在一般模型論中最有用的工具之一是緊緻性定理，它指出：“令 Σ 是 FO 句子的集合。如果 Σ 的每一個有限子集都能被滿足，那麼 Σ 也能被滿足。”但正如剛剛所展示的，這在有限情況下並不成立，因此有限模型論中沒有緊緻性定理！