有限模型理論/動機

我們先給出一個簡單的 FMT 應用示例，然後給出一些典型的示例。

FMT 無處不在

一些簡單的示例，展示了 FMT 所關注的問題是多麼基礎。

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資料庫

FMT 的一個典型應用領域是資料庫理論。

• 考慮一個公司資料庫，其中包含所有經理以及他們之間的“是上級”關係。在一個合適的層次結構中，資料庫不應該包含迴圈，即經理不能是其上級的上級。查詢這個關係對應於檢查圖是否具有環。如上所述，這在 一階邏輯 (FO) 中無法實現。
• 假設兩位經理想知道他們中是否有一個人比另一個人更有權勢。他們需要查詢資料庫以確定他們的下屬數量是否相等，即下屬集的基數（例如，直接和間接）是否相等。這在 FO 中無法實現（“FO 無法計數”）。這就是 SQL 透過計數函式擴充套件的原因。
• 考慮一個機場和它們之間連線航班的資料庫 $F$，其中 $F(x,y)$ 表示從機場 $x$ 到機場 $y$ 有直達航班。我們可以編寫一個零階查詢，查詢從機場 $a$ 到機場 $b$ 的直接可達性，如下所示：

$q_{0}(a,b)=F(a,b)$.

現在，為了查詢中轉一次的連線，我們編寫

$q_{1}(a,b)=\exists _{c}F(a,c)\land F(c,b)$ 並得到 $Q_{1}(a,b)=q_{0}(a,b)\lor q_{1}(a,b)$

對於零次或一次中轉的連線。因此，為了將其擴充套件到可達性（無論經過多少次中轉），我們必須編寫

$Q=\bigvee _{k\in \mathbb {N} }q_{k}$

它不是 FO 表示式。因此，對於最多到某個 k 的有限可達性，FO 可以很好地工作，但對於圖論中出現的可達性，FO 就無法處理。實際上，可以證明可達性無法在 FO 中查詢。