浮點數/Epsilon

粒度

浮點數，因為它們只包含一定數量的位，所以具有粒度。 因此它們不能表達無限的​​小數。 這意味著存在一個“最大可能值”ε，它滿足以下等式

$1.0\oplus \epsilon =1.0$

這個值被稱為浮點系統的機器ε。

Epsilon (ε)

當實數四捨五入到最接近的浮點數時，機器ε構成了相對誤差的上限。 這一事實使機器ε在確定許多迭代數值演算法的收斂容差方面非常有用。

確定 Epsilon

機器ε 可以根據公式計算

$\epsilon ={b \over 2}\cdot b^{-p}$

因此，對於 IEEE 754 單精度，我們有

$\epsilon =2^{-24}=5.96046447753906\times 10^{-8}$

對於 IEEE 754 雙精度，我們有

$\epsilon =2^{-53}=1.11022302462516\times 10^{-16}$

當 $p$ 未知，但 $b$ 已知為 2，則可以透過從一個試探值開始，例如 0.5，然後不斷地將該值除以 2，直到 $1.0\oplus \epsilon =1.0$ 為真來找到機器ε。

粒度影響

這種粒度的一個影響是，一些基本的代數性質並不嚴格成立。 例如，如果我們有三個浮點數，x、y 和 z，我們可以證明

$x+(y+z)\neq (x+y)+z$

當浮點數用於迭代計算時，舍入誤差和粒度誤差會導致較大的誤差。