流體力學/分析方法

流線和跡線

流體微元在空間中所追蹤的路徑稱為跡線。對於穩定的非波動流，當多個流體微元連續地沿著一條跡線運動時，這條跡線稱為流線。流線是一條假想的線，其切線始終代表著流動速度，如果流動是穩定的，然而在非穩態流動中，流線會不斷變化，因此切線代表著某個時刻流體微元的流動速度。分析中常見的做法是將控制體積的某些壁面沿著流線放置。由於流體不垂直於流線流動，因此只需要考慮流過其他邊介面的流動。

流體靜力學

流體在重力作用下的壓力分佈由以下關係式給出

${\frac {dp}{dz}}=-\rho g$

其中dz表示重力場方向的變化（通常為垂直方向）。需要注意的是，對於任意場，例如旋轉產生的偽場，也可以很方便地得到相應的表示式。

流體中的壓力在各個方向上都相等。當流體與表面接觸時，由壓力產生的力垂直於該表面。作用在微小面積dA上的力為p dA，其中力的方向垂直於dA。作用在面積A上的總力由所有這些微小力的向量和給出。

控制體積分析

可以使用控制體積分析流體動力系統，控制體積是包圍感興趣區域的假想表面。控制體積可以是固定的或移動的，也可以是剛性的或可變形的。因此，我們需要寫出最普遍的力學定律來處理控制體積。

我們可以寫出的第一個方程是質量守恆定律。考慮一個系統，其中質量流速為dm/dt，其中m為系統的質量。我們有，

${\dot {m}}=\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

對於穩定流動，我們有

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

對於不可壓縮流動，我們有

$\int _{CS}\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

如果我們考慮流過管道的流動，對於穩定流動，我們有

$\rho _{1}A_{1}V_{1}=\rho _{2}A_{2}V_{2}$

對於不可壓縮穩定流動，A₁V₁ = A₂V₂。

動量守恆定律應用於控制體積，指出

$\sum F={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \right)+\int _{CS}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中V為速度向量，n為該點處控制表面的法線單位向量。

能量守恆定律（熱力學第一定律）

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {W} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}e\mathbf {\rho } \right)+\int _{CS}e\mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中，e 表示單位質量的能量。

伯努利方程

伯努利方程考慮沿流線的無摩擦流動。

對於沿流線的穩定不可壓縮流動，我們有

${\frac {p}{\rho }}+{\frac {V^{2}}{2}}+gz=constant$

我們可以看到，伯努利方程只是能量守恆定律，沒有熱傳遞和功。

伯努利方程似乎只能應用於非常有限的一組情況下，因為它需要理想條件。但是，由於該方程適用於流線，我們可以考慮感興趣區域附近的流線，這些流線滿足該方程，並且它仍然可能給出良好的結果，即，您不需要用於實際分析的控制體積（儘管在推導該方程時使用了一個控制體積）。

以水頭表示的能量

伯努利方程可以改寫為

${\frac {p}{\rho g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z=constant$

這個常數可以稱為水的總水頭，它表示可以從水中提取的功的量。例如，對於水壩中的水，在壓力管的入口處，壓力很高，但速度很低，而在出口處，壓力很低（大氣壓），而速度很高。上面計算的總水頭值保持不變（忽略摩擦損失）。

機械能平衡方程

伯努利方程的另一個變體是機械能平衡方程。機械能平衡方程在需要考慮摩擦造成的功或損失時很有用，或者如果出口和入口之間存在差異（如壓力、速度和高度）。

${\frac {\Delta p}{\rho }}+{\frac {\Delta (V^{2})}{2}}+g\Delta z+f=-w$