流體力學/控制容積分析

控制容積分析

流體動力學系統可以使用控制容積進行分析，控制容積是指包圍感興趣區域的假想表面。控制容積可以是固定的或移動的，可以是剛性的或可變形的。因此，我們需要寫出最一般的力學定律來處理控制容積。

質量守恆

我們可以寫出的第一個方程是質量守恆定律。考慮一個質量流率為dm/dt的系統，其中m是系統的質量。等式左側表示系統質量的變化率。右側的第一個項描述了穿過控制面的流量。右側的第二個項指的是控制容積內的狀態。我們有，

${\dot {m}}=\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA+{\frac {d}{dt}}\int _{CV}\rho dV$

然而，根據系統的定義，系統的質量是一個常數；因此，上述方程的左側等於零，可以改寫為

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=-{\frac {d}{dt}}\int _{CV}\rho dV$

對於穩定流動，量的導數為零，我們有

$\int _{CS}\rho \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

對於不可壓縮流動，我們有

$\int _{CS}\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA=0$

如果我們考慮透過管道的流動，對於穩定流動，我們有

$\rho _{1}A_{1}V_{1}=\rho _{2}A_{2}V_{2}$

對於不可壓縮的穩定流動，A₁V₁ = A₂V₂。

動量守恆

應用於控制容積的動量守恆定律指出

$\sum F={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}\!\mathbf {V} \mathbf {\rho } \,dV\right)+\int _{CS}\mathbf {V} \mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$

其中V是速度向量，n是該點控制面的法線單位向量。

力的總和表示作用於整個流體體積的力的總和（體力）和僅作用於流體邊介面的力（表面力）。體力包括重力。

能量守恆

流體力學中的能量守恆定律是熱力學第一定律的具體應用。

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {W} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\int _{CV}e\mathbf {\rho } \,dV\right)+\int _{CS}e\mathbf {\rho } \left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \right)dA$