流體力學/量綱分析

量綱分析是一種數學技術，用於預測影響流體力學中流動、熱力學中熱傳遞等的物理引數。分析涉及 MLT 的基本單位：質量、長度和時間。它對實驗工作很有幫助，因為它為顯著影響所研究現象的因素提供了一個指南。

量綱分析通常用於確定幾個變數之間的關係，即在未知確切函式關係的情況下，找到力作為其他變數的函式。根據對問題的理解，我們假設一定的函式形式。

單位/量綱

定義的單位基於現代 MLT 系統：質量、長度、時間。所有其他量都可以用這些基本單位表示。

例如，力/面積×速度梯度 MLT^-2/L^2×T^-1 |- |速度||m/s||= L/T |- |加速度||m/s²||= L/T² |- |力||kgm/s²||= ML/T² |}

其中 L/T、L/T²、ML/T² 等稱為匯出單位。

無量綱分析的另一個系統是 FLT 系統，即力、長度、時間系統。在這種情況下，質量≡F/a，這使得質量的單位為 FT²/L，因為加速度的單位為 L/T²。

瑞利方法

一種用於查詢關於感興趣引數的函式關係的初級方法是瑞利方法，它將透過一個示例說明，使用 MLT 系統。

假設我們對阻力 D 感興趣，阻力是作用在船上的力。阻力到底是什麼的函式？這些變數需要正確選擇，儘管選擇這些變數在很大程度上取決於一個人在該主題上的經驗。已知阻力取決於

數量	符號	量綱
尺寸	l	L
粘度	μ	M/LT
密度	ρ	M/L3
速度	V	L/T
重力	g	L/T2

這意味著D = f(l,ρ,μV,g)，其中f 是某個函式。

使用瑞利方法，我們假設D=Cl^aρ^bμ^cV^dg^e，其中C 是無量綱常數，a、b、c、d 和e 是指數，其值尚不清楚。

請注意，左側的量綱（力）必須等於右側的量綱。在這裡，我們只使用右側變數的三個獨立量綱：M、L 和 T。

步驟 1：建立方程

僅根據量綱編寫方程，即用它們各自的單位替換數量。然後方程變為

${\frac {ML}{T^{2}}}=(L)^{a}\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{b}\displaystyle \left({\frac {M}{LT}}\right)^{c}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{d}\displaystyle \left({\frac {L}{T^{2}}}\right)^{e}$

在左側，我們有M¹L¹T^-2，它等於右側的量綱。因此，右側的指數必須是這樣的，使得單位為M¹L¹T^-2

步驟 2：求解指數

將指數彼此相等，以它們各自的基本單位表示

M：1 = b + c 因為 M¹ = M^bM^c

L：1 = a - 3b - c + d + e 因為 L¹ = L^aL^-3bL^-cL^dL^e

T：-2 = -c - d - 2e 因為 T^-2 = T^-cT^-dT^-2e

可以看出，有三個方程，但五個未知變數。這意味著無法獲得完整的解。因此，我們選擇根據c 和e 來求解a、b 和d。這些選擇是基於經驗的。因此，

從 M	b = 1 - c	(i)
從 T	d = 2 - c - 2e	(ii)
從 L	a = 1 + 3b + c - d - e	(iii)

同時求解 (i)、(ii) 和 (iii)，我們得到

a = 2 - c + e

將指數代回原始方程，我們得到

D = Cl^2+e-cρ^1-cμ^cV^2-c-2eg^e

收集類似的指數，

$D=C\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{-e}\displaystyle \left({\frac {Vl\rho }{\mu }}\right)^{-c}{\rho }l^{2}V^{2}$

這意味著

D = Cl²l^el^-cρρ^-cμ^cV²V^-cV^-2eg^e

對於不同的指數，

指數為 1 的項：Cρ

指數為 2 的項：l²V²

指數為 e 的項：l^eV^-2eg^e = $\displaystyle \left({\frac {lg}{V^{2}}}\right)^{e}=\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{-e}$ (iv)

帶有指數 c 的項：l^-cρ^-cμ^cV^-c = $\displaystyle \left({\frac {l{\rho }V}{\mu }}\right)^{-c}$ (v)

(iv) 和 (v) 的右側被稱為無量綱群。

步驟 3：確定無量綱群

注意，e 和 c 是未知的。考慮以下情況

如果 e = 1，則 (iv) 變為 $\displaystyle \left({\frac {lg}{V^{2}}}\right)$

如果 e = -1，則 (iv) 變為 $\displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)$

如果 c = 1，則 (v) 變為 $\displaystyle \left({\frac {\mu }{l{\rho }V}}\right)$

如果 c = -1，則 (v) 變為 $\displaystyle \left({\frac {l{\rho }V}{\mu }}\right)=\displaystyle \left({\frac {lV}{\nu }}\right)$

其中 ν 是流體的運動粘度。

依此類推，可以得到不同的指數。結果表明

${Reynolds\ Number}\equiv {\frac {Vl}{\nu }}=N_{R}=Re$

${Froude\ Number}\equiv \displaystyle \left({\frac {V^{2}}{lg}}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {V}{\sqrt {lg}}}=N_{F}=Fr$

其中 N_R 或 Re 和 N_F 或 Fr 分別是雷諾數和弗勞德數的常用符號。這些無量綱群在流體力學和其他領域中反覆出現。

選擇 c 的指數為 -1，e 的指數為 -½，分別得到雷諾數和弗勞德數，我們得到

D = g(Fr, Re)ρl²V²

其中 g(Fr, Re) 是無量綱函式

這也可以寫成

${\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}=g(Fr,Re)$

這是一個無量綱量，它是一個只有兩個變數而不是五個變數的函式。這個無量綱量最終是阻力系數，C_D。

$C_{D}\equiv {\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}$

註釋

瑞利方法由於變數之間存在指數關係的假設而存在侷限性。

白金漢 Π 定理/方法

該方法將用與瑞利方法相同的例子來說明，即船舶的阻力。

假設我們有 n 個量（例如，6 個量：D、l、ρ、μ、V 和 g），以及 m 個維度（例如，3 個維度：M、L 和 T）。這些量可以簡化為 (n - m) 個獨立的無量綱群，例如 Re 和 Fr。

假設

A₁ = f(A₂, A₃, A₄, ... , A_n)

其中 A_x 是量，如阻力、長度等，如 n 個量中所述，f 表示 A₁ 與其他量之間的函式關係。

然後重新排列，我們得到

0 = f(A₂, A₃, A₄, ... , A_n) - A₁ = f(A₁, A₂, A₃, A₄, ... , A_n)

利用白金漢 Π 定理可以進一步簡化，得到

0 = f(π₁, π₂, ... , π_n-m)

形成 Π 群

對於每個 Π 群，取 m 個量，A_x，稱為 m 個重複變數，以及剩餘變數中的一個。請注意，經驗決定了哪些量最適合作為重複變數。

Π 群的一般形式為

π₁ = A₁^x₁A₂^y₁A₃^z₁A₄

π₂ = A₁^x₂A₂^y₂A₃^z₂A₅

⋮

π_n-m = A₁^x_n-mA₂^y_n-mA₃^z_n-mA_n

它們都是無量綱量。

步驟 1：設定 Π 群

對於 MLT 系統，m = 3，所以選擇 A₁，A₂ 和 A₃ 作為重複變數。

將白金漢π定理應用於阻力方程

f(D, l, ρ, μ, V, g) = 0

其中 m = 3，n = 6，因此將會有 n - m = 3 個π組。

我們將選擇 ρ，V 和 l 作為重複變數 (RV)，將剩餘的量保留為 D，μ 和 g。請注意，如果分析無法進行，我們可以隨時返回並使用新的 RV 重複操作。因此，

π₁ = ρ^x₁V^y₁l^z₁D

π₂ = ρ^x₂V^y₂l^z₂μ

π₃ = ρ^x₃V^y₃l^z₃g

這些都是無量綱量，即具有 M⁰L⁰T⁰ 的單位

步驟 2：確定 π 組

對於第一個π組，

π₁ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{1}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{1}}(L)^{z_{1}}\displaystyle \left({\frac {ML}{T^{2}}}\right)$

展開並收集類似的單位，我們可以求解指數

對於 M：0 = x₁ + 1 ⇒ x₁ = -1

對於 T：0 = -y₁ - 2 ⇒ y₁ = -2

對於 L：0 = -3x₁ + y₁ + z₁ + 1 ⇒ z₁ = 3(-1) - (-2) - 1 = -2

因此，我們發現指數 x₁，y₁ 和 z₁ 分別為 -1，-2 和 -2。這意味著第一個無量綱 π 組，π₁，是

π₁ = ρ^-1V^-2l^-2D = ${\frac {D}{{\rho }V^{2}l^{2}}}$

對於第二個π組，

π₂ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{2}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{2}}(L)^{z_{2}}\displaystyle \left({\frac {M}{LT}}\right)$

求解指數，

對於 M：x₂ + 1 = 0 ⇒ x₂ = -1

對於 T：-y₂ - 1 = 0 ⇒ y₂ = -1

對於 L：-3x₂ + y₂ + z₂ - 1 = 0 ⇒ z₂ = 1 - (-1) + 3(-1) = -1

因此，

$\pi _{2}=\rho ^{-1}V^{-1}l^{-1}\mu ={\frac {\mu }{{\rho }Vl}}={\frac {\nu }{Vl}}$

但是，我們現在將π₂ 取反，使得

$\pi _{2}={\frac {Vl}{\nu }}=Reynolds\ Number$

允許對任何 π 組進行冪運算，例如 π⁻¹，π^½，π² 等，以形成一個新的組，因為這不會改變函式形式。

對於第三個π組，

π₃ $M^{0}L^{0}T^{0}=\displaystyle \left({\frac {M}{L^{3}}}\right)^{x_{3}}\displaystyle \left({\frac {L}{T}}\right)^{y_{3}}(L)^{z_{3}}\displaystyle \left({\frac {L}{T^{2}}}\right)$

求解指數，

對於 M：x₃ = 0 ⇒ x₃ = 0

對於 T：-y₃ - 2 = 0 ⇒ y₃ = -2

對於 L：-3x₃ + y₃ + z₃ + 1 = 0 ⇒ z₃ = -1 - (-2) = 1

因此，

$\pi _{3}=\rho ^{0}V^{-2}lg={\frac {lg}{V^{2}}}$

將其提升到-½次方，

${\sqrt {\frac {1}{\pi _{3}}}}={\frac {V}{\sqrt {lg}}}=Froude\ Number$

因此，三個 π 群可以寫在一起為

$f\displaystyle \left({\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}},Re,Fr\right)=0$

最後，

${\frac {D}{{\rho }l^{2}V^{2}}}=f(Re,Fr)$

請注意，這與瑞利方法得到的結果相同，但使用白金漢 π 方法，我們不需要假設函式依賴性。

常見的 π 群

使用白金漢 π 定理，我們現在將檢查流體動力學中最常見的 π 群。大多數流體流動情況取決於以下量

l	長度
D	直徑
ε	表面粗糙度
V	流動速度
ρ	流體密度
Δp	壓降
g	重力
μ	絕對/動態粘度
σ	表面張力
K 或 Ev	壓縮性/體積模量

共有 10 個量，n = 10，以及 3 個維度，m = 3，因此得到n - m = 7 個 π 群。選擇V，ρ和l作為重複變數，執行白金漢 π 分析，並對一些 π 群使用不同的指數，我們得到以下在流體動力學研究中常見的 π 群

$\pi _{1}={\frac {{\Delta }p}{{\rho }V^{2}}}={\text{Pressure Coefficient}}=C_{P}$
$\pi _{2}={\frac {V}{\sqrt {gl}}}={\text{Froude Number}}=Fr$
$\pi _{3}={\frac {Vl\rho }{\mu }}={\text{Reynolds Number}}=Re$
$\pi _{4}={\frac {V^{2}l\rho }{\sigma }}={\text{Weber Number}}=We$
$\pi _{5}={\frac {V}{\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}={\text{Mach Number}}=Ma$
$\pi _{6}={\frac {l}{D}}={\text{Length:Diameter Ratio}}$
$\pi _{7}={\frac {\epsilon }{D}}={\text{Relative Roughness}}$