流體力學應用/B-34: 突縮

簡介

流體射流從加壓容器中的圓形孔口射出後，其截面積/直徑突然縮小，這種現象被稱為收縮流。收縮係數是指收縮流截面積與孔口面積之比。其典型值可取為 0.64。

檢查收縮流

假設 P₁A₁v₁ 是儲罐中流體的壓力、面積和速度，

P₂A₂v₂ 是孔口處流體的壓力、面積和速度，

P₃A₃v₃ 是收縮流處流體的壓力、面積和速度，

Vena contracta plays a very important role in the minor losses in pipes.

收縮流的直徑約等於原孔口直徑的 0.64 倍。假設流體不可壓縮。

使用連續性方程

v1A1 =v2A2                                                         (1)
 and              v1  << v2                                                         (2)

忽略粘性造成的能量損失，伯努利方程適用於沿流線的點

P₁ +1/2 d v_1² = P₂ +1/2dv_2² (3)

其中 d 是流體的（常數）密度，P 是使用方程 (2) 和 (3) 計算出的壓力。

                v22 =2( P1 - P2 )/d                                                   (4)

考慮系統中的動量，質量通量 =dvA，因此動量通量 = dv²A，由面積 A₁ 和 A₂ 圍成的淨通量

 dp/dt =   d(v22A2-v12A1)=dv22A2                                        (5)

F ≈ P₁A₁ - [P₁(A₁ - A₂)] = (P₁ - P₂)A₂ (6)

等於方程 (5)

v₂²= (P₁-P₂)/d (7)

這與基於能量守恆的方程 (4) 相矛盾。那麼根據托里拆利定律，這種矛盾在自然界中透過流體透過 A₂ 後收縮到面積 A₃ 來解決。動量通量實際上是

      dp/dt =   d(v32A3-v12A1) ≈ dv32A3 ≈ 2P1A3           (8)

根據伯努利方程，當 P₃ << P₂ 時，導致這種變化的力現在是

 F ≈ P1A1 - [P1(A1 - A2) + P3A3] = (P1A2 - P3A3) ≈ P1A2                           (9) 

我們估計收縮流為 A₃= A₂/2

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/vena_contracta.pdf