流體力學應用/B18：衝動式水輪機

“水輪機”一詞源於希臘語tyrbē (τύρβη)，意為湍流。水輪機由古斯塔夫·德·拉瓦爾於 1882 年發明。水輪機的現代演示由查爾斯·帕森斯爵士於 1884 年發明。水輪機是一種機器，它利用流體的動能並透過設計的機制將其轉化為機械能。水輪機由連線到軸上的若干葉片組成，該軸通常用於驅動發電機。水輪機的基本工作原理是，水輪機的葉片由運動的流體（例如蒸汽、水、氣體等）旋轉，從而旋轉連線到使用此旋轉能量進行所需工作的裝置的軸。

根據水輪機的工作型別，水輪機可分為兩種

上圖是衝動式水輪機模型。下圖是反動式水輪機模型。

1. 衝動式水輪機：它的葉片由蒸汽在葉片上產生的衝力旋轉。它由水桶狀葉片和將蒸汽引導至彎曲水桶狀葉片的噴嘴組成。

1. 反動式水輪機：它的葉片由流體壓力或質量產生的扭矩旋轉。它由飛機機翼形狀的葉片組成。兩排可移動葉片由一排固定葉片隔開，固定葉片連線到充當噴嘴的殼體上。

常用術語

1. 壓力水頭：指的是所考慮流體的勢能。
2. 速度水頭：指的是所考慮流體的動能。
3. 可壓縮流體：指的是密度變化顯著的流體。
4. 不可壓縮流體：指的是密度變化不大的流體。

衝動式水輪機

在衝動式水輪機中，首先將要使用的流體透過專門設計的噴嘴引導，以將其壓力水頭轉化為速度水頭。然後，從噴嘴噴出的所需流體流撞擊到彎曲（水桶狀）葉片上。該流體的速度水頭因此用於提供動量以旋轉葉片，從而旋轉軸。葉片的設計方式使得流體從噴嘴撞擊葉片的方向改變其方向並離開葉片。在此過程中產生的衝動用於為葉片提供動量。這就是我們稱這種型別的水輪機為衝動式水輪機的原因。衝動式水輪機的最流行的例子之一是佩爾頓水輪

佩爾頓水輪

佩爾頓水輪是一種水輪機。它是衝動式水輪機最著名的例子。萊斯特·艾倫·佩爾頓在 19 世紀 70 年代發明了這種水輪機。這種水輪機利用的能量來自運動的水。以前製造了許多衝動式水輪機，但它們不如佩爾頓水輪高效。這是因為離開水輪機的水仍然帶走了大部分動能，因此無法利用更多的能量。但佩爾頓研究了這個問題，並透過給它葉片幾何形狀找到了一個巧妙的解決方案。它的設計方式使得即使水輪邊緣的速度等於噴嘴噴出水速度的一半，離開的水也幾乎沒有剩餘能量。這樣，大多數能量被充分利用了。使其成為非常高效的水輪機設計。

所需功率可以根據需要變化。因此，可以透過槍頭機構來滿足此需求。這是透過調節槍頭的位置來實現的。如果功率需求更大，則槍頭將移動到噴嘴出口，如果功率需求更小，則槍頭將從噴嘴出口移開。因此，功率需求與水流量同步。噴嘴配有分流器。特殊的葉片設計使得水在 $180^{o}$ 處反轉。這種力可以很容易地從牛頓的 $2^{nd}$ 定律推匯出。角度被設定為 $180^{o}$ 以最大化衝力。

最大化功率提取

葉片提取的功率，$P=F_{impulse}\times V_{bucket}$ 因此，當衝力和葉片速度的乘積最大時，提取的功率最大。

分析兩種情況

1. 葉片保持靜止：將產生很大的衝力，但由於葉片保持靜止，因此提取的功率將為零。

1. 葉片速度與射流速度相同 : 如果發生這種情況，那麼水射流將無法擊中葉片，導致衝力為零。因此，再次沒有提取功率。

數學分析

入口和出口處的速度三角形

水施加的力=${\dot {m}}(v_{w,i}-v_{w,o})$

功率=${\dot {m}}(v_{w,i}-v_{w,o})U_{1}$

水力效率，$\eta$=${(v_{w,i}-v_{w,o}){U_{1} \over g} \over {U^{2} \over 2g}}$

為了獲得最大效率，

$v_{w,i}=U=V_{1}+U_{1}$

$v_{w,o}=U_{1}-V_{r,o}\cos {\phi }$

因此，$P={\dot {m}}(v_{r,i}+v_{r,o}\cos {\phi })$

假設葉片上的摩擦阻力=0

$(v_{r,i}=v_{r,o})$

因此，$P={\dot {m}}U_{1}(U-U_{1})(1+\cos {\phi })$

為了使P達到最大值，${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} U_{1}}}=0$

因此，$U=2U_{1}$

道蒂對佩爾頓水輪效能的分析

供應給渦輪機的淨水頭h可以如下計算

$h=h''+k{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+m{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+k''{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$ -------(1)

$h''$ :轉化為機械功的水頭。

$k{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:由於轉輪內部摩擦和渦流損失而產生的熱量損失的能量。

$m{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:排放時的動能損失。

$k''{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:佩爾頓水輪噴嘴的損失。

佩爾頓水斗內流動速度分量的示意圖

葉輪利用的熱量，

$h''={l \over g}(u_{1}v_{1}-u_{2}v_{2}\cos \alpha _{2})$ -----(2)

使用葉輪中水的相對運動的能量方程。

葉輪內的總水頭損失 $={\Bigg (}z_{1}+{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}{\Bigg )}-{\Bigg (}z_{2}+{\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}{\Bigg )}$

使用相對速度和公式 1 和 2，我們得到，

${\Bigg (}z_{1}+{\frac {V_{1}^{2}-U_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}{\Bigg )}-{\Bigg (}z_{2}+{\frac {V_{2}^{2}-U_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}{\Bigg )}$

假設 $z_{1}=z_{2},p_{1}=p_{2},u_{1}=u_{2}$

$V_{2}={\frac {V_{1}}{\sqrt {1+k}}}={\frac {v_{1}-U_{1}}{\sqrt {1+k}}}$

葉輪上的切向力， $F_{t}={\dot {m}}{\bigg (}U-u_{2}-V_{2}\cos \beta {\bigg )}$

$F_{t}={\dot {m}}{\Bigg (}1-{\frac {\cos \beta _{2}}{\sqrt {1+k}}}{\Bigg )}(V_{1}-U_{1})$

$P={\dot {m}}{\Bigg (}1-{\frac {\cos \beta _{2}}{\sqrt {1+k}}}{\Bigg )}(V_{1}-U_{1})U_{1}$

(注意：在實際情況中，不能假設$U=v_{1}$始終為真，並且噴流總是以一定角度撞擊葉片)