流體力學應用/B19：粘性流動
湍流中靠近壁面的區域存在三個區域
- 壁層：粘性剪下力占主導地位。
- 外層：湍流剪下力占主導地位。
- 重疊層：兩種剪下力都很重要。
從現在開始，讓我們同意從速度 中去掉上劃線。令 為壁面剪下應力，令 和 分別代表外層邊緣的厚度和速度。
對於壁層，普朗特在1930年推斷出 必須與剪下層厚度無關
透過量綱分析，這等價於
u +=u/u*=F(yu*/v)
u*=(τw/ρ)1/2
上述方程稱為壁面定律，u* 稱為摩擦速度，因為它具有 {LT-1} 的量綱，儘管它實際上不是流動速度。隨後，卡門在1933年推斷出外層中的 u 與分子粘度無關，但它與流速 U 的偏差必須取決於層厚度 和其他性質
(U-u)outer =g(δ,τw,ρ,y)
同樣，透過量綱分析，我們將其改寫為
(U-u)/u*=G(y/δ)
其中 u* 具有相同的含義。這個方程稱為外層的速度虧損定律。壁面定律和虧損定律都被發現對各種實驗性的湍流管道和邊界層流動是準確的 [1 到 3]。它們的形狀不同，但它們必須在中間層平滑地重疊。1937年，C.B. 米利肯表明，只有當重疊層速度隨 y 對數變化時，這才是可能的
u*/u = (1/K)ln(yu*/v) +B
重疊層
在整個湍流光滑壁面流動的範圍內，無量綱常數 K 和 B 被發現具有近似值 K= 0.41 和 B=5.0 上述方程稱為對數重疊層。
因此，透過量綱推理和物理洞察力，我們推斷出在湍流剪下層中，u 對 ln y 作圖將顯示一個彎曲的壁面區域、一個彎曲的外層區域和一條直線對數重疊區域。下圖顯示了這種情況的確如此。
所示的四個外層定律曲線都與對數重疊定律平滑地融合，但由於它們在外壓梯度上的變化，因此具有不同的幅度。壁面定律遵循線性粘性關係
u+ =u/u* = yu*/v = y+
從壁面到大約 y+ =5，因此彎曲到大約 y+ =30 時與對數定律融合。
湍流模型是一個非常活躍的領域。目前，一項研究僅限於將對數定律用於管道和邊界層問題。
-ρU'V' =τ(turbulent) =μdu/dy
其中
μ =ρL²du/dy
其中 μ 是流動的性質，而不是流體的性質，稱為渦粘度，可以用各種方法建模，而 L 稱為湍流渦旋的混合長度。靠近固體壁面，L 大致與距壁面的距離成正比，根據卡門
L = ky
其中
k = 卡門常數 = 0.41
我們已經看到，在湍流中，如果我們對連續性和動量方程中的速度和壓力取時間平均值，那麼簡化的連續性方程與原來相同，但簡化的動量方程發生了變化，導致流動中產生了湍流應力，其中靠近壁面時層流剪下力占主導地位，而外層時湍流剪下力占主導地位，中間區域稱為重疊層。我們還看到了對內層、外層和重疊層定律的實驗驗證，這些定律描述了湍流壁面流中的速度分佈，其中實際上近似於整個速度分佈，除了當壓力在流向下游強烈增加時，外層定律除外。現代湍流模型近似於三維湍流，併為湍流動能、湍流耗散和六個雷諾應力等量使用額外的偏微分方程。
- 流體力學（SI 單位）- 第七版，作者：弗蘭克·M·懷特。
- 工程流體力學，作者：K.L. 庫馬爾教授
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