流體力學應用/B44：風車和風力渦輪機

簡介

風車是一種機器，它利用被稱為帆或葉片的葉片將風能轉換為旋轉能。

之所以稱為“風車”，是因為這些裝置最初是為糧食生產而研發的；隨著時間的推移，風車機械被改造成用於提供除磨粉以外的許多工業和農業需求的動力，因此這個名字保留了下來。大多數現代風車以風力渦輪機（用於發電）或風力泵（用於抽水，無論是排乾土地還是抽取地下水）的形式存在。風力渦輪機是一種將風能轉化為電能的裝置。用於為電池充電的風力渦輪機可能被稱為風力充電器。

風車歷史：風車早在公元前 200 年就在波斯（現在的伊朗）使用。亞歷山大的希羅的風輪標誌著歷史上首次利用風力為機器提供動力的已知案例之一。然而，已知的第一批實用風車是在公元 7 世紀在伊朗東部省份西斯坦建造的。這些“Panemone”是垂直軸風車，它們有一個長長的垂直驅動軸，上面有矩形的葉片。這些風車由六到十二個帆組成，帆布用蘆葦蓆或布料覆蓋，用於研磨穀物或抽水，並在磨坊和甘蔗工業中使用。風車在中世紀首次出現在歐洲。它們在英國使用的第一份歷史記錄可以追溯到 11 世紀或 12 世紀，有報道稱德國十字軍在 1190 年左右將他們的風車製造技術帶到了敘利亞。到 14 世紀，荷蘭風車被用來排水萊茵河三角洲的區域。第一個發電的風力渦輪機是一個電池充電機，由蘇格蘭學者詹姆斯於 1887 年 7 月安裝。

工作原理

風力渦輪機的工作原理很簡單。大氣中溫度（以及壓力）差異導致的移動空氣的能量。太陽的輻射加熱空氣，迫使空氣上升。反之，當溫度下降時，會形成低壓區域。風（即氣流）平衡了這些差異。因此，風能是太陽能轉化為移動空氣的動能。風能轉換器（WECs）——或簡稱：風力渦輪機——透過將其轉換為旋轉運動來捕獲氣流，然後驅動傳統發電機發電。

風力渦輪機型別

• 水平軸風力渦輪機：水平軸風力渦輪機（HAWT）的主轉子軸和發電機位於塔頂，必須指向風向。小型渦輪機由簡單的風向標指向，而大型渦輪機通常使用風感測器與伺服電機配合使用。大多數渦輪機都有一個齒輪箱，將葉片的緩慢旋轉轉換為更快的旋轉，這更適合驅動發電機。

  Advantages:                                       
   1: Higher wind speeds
   2: Great efficiency
 Disadvantages:
   1: Angle of turbine is relevant
   2: Difficult access to generator for repairs

• 垂直軸風力渦輪機：垂直軸風力渦輪機（或 VAWTs）的主轉子軸垂直排列。

 Advantages                                       
   1: Can place generator on ground                   
   2: You don’t need a yaw mechanism for wind angle     
 Disadvantage
   1: Lower wind speeds at ground level 
   2: Less efficiency and require a push

風力渦輪機設計和元件

風力渦輪機設計是確定風力渦輪機從風中提取能量的形式和規格的過程。 風力渦輪機安裝包括從風中捕獲能量、將渦輪機指向風向、將機械旋轉轉換為電能以及其他系統（用於啟動、停止和控制渦輪機）所需的必要系統。

風力渦輪機元件

  1-Foundation 
  2-Connection to the electric grid 
  3-Tower 
  4-Access ladder  
  5-Wind orientation control (Yaw control) 
  6-Nacelle 
  7-Generator 
  8-Anemometer 
  9-Electric or Mechanical Brake 
 10-Gearbox 
 11-Rotor blade  
 12-Blade pitch control 
 13-Rotor hub.

使用的公式

德國物理學家阿爾伯特·貝茨推匯出一個公式來從渦輪機中提取風能。貝茨定律：貝茨定律計算了可以從風中提取的最大功率，與開放流中風力渦輪機的設計無關。該定律是從透過理想化的“執行器盤”流動的氣流的質量守恆和動量守恆原理推匯出來的，該氣流從風流中提取能量。根據貝茨定律，沒有渦輪機可以捕獲超過風中動能的 16/27（59.3%）。因子 16/27（0.593）被稱為貝茨係數。

證明

  ASSUMPTION:
  1. The rotor does not possess a hub, this is an ideal rotor, with an infinite number of blades which have no drag. Any resulting drag 
     would only lower this idealized value.
  2. The flow into and out of the rotor is axial. This is a control volume analysis, and to construct a solution the control volume must 
     contain all flow going in and out, failure to account for that flow would violate the conservation equations.
  3. The flow is incompressible. Density remains constant, and there is no heat transfer.
  4. Uniform thrust over the disc or rotor area

數學模型

下表顯示了該模型中使用的各種變數的定義

E = 動能(J)

ρ = 密度(kg/m3)

m = 質量 (kg)

A = 掃掠面積(m2)

v = 風速(m/s)

Cp = 功率係數

P = 功率 (W)

r = 半徑 (m)

dm/dt = 質量流量(kg/s)

x = 距離 (m)

dE/dt = 能量流量 (J/s)

t = 時間 (s)

在恆定加速度下，具有質量 m 和速度 v 的物體的動能等於在力 F 作用下將該物體從靜止狀態移動到距離 s 所做的功 W，即

$E=W=Fs$

根據牛頓定律，我們有：$F=ma$

因此，$E=mas$ … (1)

使用第三個運動方程

$v^{2}=u^{2}+2as$

我們得到

$a=(v^{2}-u^{2})/2s$

由於物體的初速度為零，即

u = 0，我們得到

   $a=v^{2}/2s$

將其代入方程式 (1)，我們得到運動中質量的動能為

$E=(1/2)mv^{2}$

風能的功率由能量變化率給出

$P={\frac {dE}{dt}}=(1/2)v^{2}{\frac {dm}{dt}}$ ...(3)

質量流量由下式給出

${\frac {dm}{dt}}=\rho \cdot A{\frac {dx}{dt}}$

距離變化率由下式給出

${\frac {dx}{dt}}=v$

我們得到

${\frac {dm}{dt}}=\rho \cdot A\cdot v$

因此，根據公式 (3)，功率可以定義為

 $P={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{3}.$   ...(4)

1919 年，德國物理學家阿爾伯特·貝茨得出結論，任何風力渦輪機都無法將風動能的 16/27（59.3%）以上轉化為機械能來轉動轉子。時至今日，這被稱為貝茨極限或貝茨定律。任何風力渦輪機設計理論上的最大功率效率為 0.59（即，風力渦輪機最多隻能提取風能的 59%）。這被稱為“功率係數”，定義為

 $Cpmax=0.59$

此外，風力渦輪機無法以該最大極限執行。該值對於每種渦輪機型別都是唯一的，並且是渦輪機執行風速的函式。一旦我們加入風力渦輪機的各種工程要求，特別是強度和耐用性，現實世界中的限制遠低於貝茨極限，即使在設計最佳的風力渦輪機中，常見的數值也為 0.35-0.45。當我們考慮到完整風力渦輪機系統中的其他因素時，例如齒輪箱、軸承、發電機等等，風能只有 10-30% 最終被實際轉化為可用電能。因此，需要在公式 (4) 中考慮功率係數，從風能中提取的功率由下式給出

   $P_{\rm {avail}}=C_{\mathrm {p} }\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{3}.$   ...(5)

渦輪機的掃掠面積可以透過使用圓面積公式從渦輪機葉片的長度計算得出

$A=\pi r^{2}.\,$ ...(6)

特性引數

功率係數是風力渦輪機空氣動力學中最重要變數。可以應用白金漢 π 定理來表明功率的無量綱變數由下式給出。該方程類似於效率，因此典型的值為 0 到小於 1。然而，這並不完全等同於效率，因此在實踐中一些渦輪機可能表現出大於 1 的功率係數。在這種情況下，不能得出違反熱力學第一定律的結論，因為根據效率的嚴格定義，這不是效率項。

$C_{P}={\frac {P}{{\frac {1}{2}}\rho AV^{3}}}$

(CP)

其中：$C_{P}$ 是功率係數，$\rho$ 是空氣密度，A 是風力渦輪機的面積，最後 V 是風速。

公式 (1) 顯示了兩個重要的依賴項。第一個是機器執行的速度 (U)。通常使用葉片尖端速度來計算此速度，並將其寫為葉片半徑與風力旋轉速度的乘積（U=omega*r，其中 omega = 以弧度/秒為單位的旋轉速度）。^[請澄清]該變數透過風速進行無量綱化，以獲得速度比

$\lambda ={\frac {U}{V}}$

(SpeedRatio)

力向量並不簡單，如前所述，存在兩種型別的空氣動力，升力和阻力。因此存在兩個無量綱引數。但是這兩個變數都以類似的方式進行無量綱化。升力公式如下所示，阻力公式隨後給出

$C_{L}={\frac {L}{{\frac {1}{2}}\rho AW^{2}}}$

(CL)

$C_{D}={\frac {D}{{\frac {1}{2}}\rho AW^{2}}}$

(CD)

其中：$C_{L}$ 是升力係數，$C_{D}$ 是阻力系數，$W$ 是風力渦輪機葉片所受到的相對風速，A 是面積，但可能與功率無量綱化的面積不同。

氣動力對 W 有依賴關係，這個速度是相對速度，由下面的方程式給出。請注意這是向量減法。

${\vec {W}}={\vec {V}}-{\vec {U}}$

(RelativeSpeed)

基於阻力的風力渦輪機的最大功率

方程式 (1) 將作為本推導的起點。方程式 (CD) 用於定義力，方程式 (RelativeSpeed) 用於相對速度。這些替換給出了以下功率公式。

$P={\frac {1}{2}}\rho AC_{D}\left(UV^{2}-2VU^{2}+U^{3}\right)$

(DragPower)

公式 (CP) 和 (SpeedRatio) 用於將 (DragPower) 表示為無量綱形式

$C_{P}=C_{D}\left(\lambda -2\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\right)$

(DragCP)

透過微積分可以證明方程式 (DragCP) 在 $\lambda =1/3$ 處達到最大值。透過觀察可以看出方程式 (DragPower) 將在 $\lambda >1$ 處獲得更大的值。在這種情況下，方程式 (1) 中的標量積使結果為負。因此，我們可以得出結論，最大功率由以下公式給出

$C_{P}={\frac {4}{27}}C_{D}$

實驗表明，一個大的 $C_{D}$ 是 1.2，因此最大 $C_{P}$ 大約為 0.1778。

基於升力的風力渦輪機的最大功率

升力型風機最大功率的推導類似，但有一些修改。首先我們必須認識到阻力總是存在的，因此不能忽略。將證明忽略阻力會導致無限功率的最終解。這個結果顯然是無效的，因此我們將繼續進行阻力的計算。如前所述，方程式 (1)、(CD) 和 (RelativeSpeed) 將與 (CL) 一起用於定義下面的功率表達式。

$P={\frac {1}{2}}\rho A{\sqrt {U^{2}+V^{2}}}\left(C_{L}UV-C_{D}U^{2}\right)$

(LiftPower)

類似地，這使用方程式 (CP) 和 (SpeedRatio) 進行無量綱化。然而，在這個推導中，引數 $\gamma =C_{D}/C_{L}$ 也被使用

$C_{P}=C_{L}{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}\left(\lambda -\gamma \lambda ^{2}\right)$

(LiftCP)

求解最佳速度比因其對 $\gamma$ 的依賴關係以及最佳速度比是三次多項式解的事實而變得複雜。然後可以應用數值方法來確定此解和相應的 $C_{P}$ 解對於一系列 $\gamma$ 結果。實驗表明，在升力係數為 0.6 時，實現約為 0.01 的阻力比 ($\gamma$) 並非不合理。這將導致約為 889 的 $C_{P}$。這大大優於最佳的阻力型機器，因此升力型機器更優越。

風車應用

 -Farm Windmill
 -Golf Course Aeration
 -Cattle Farm Windmill
 -Pond Aeration
 -Residential Water Aeration
 -Fish Ponds and Hatcheries
 -West Nile Virus Prevention