湍流

簡介

我們日常生活中遇到的幾乎所有流體流動都是湍流。典型的例子包括汽車、飛機和建築物周圍（以及內部）的流動。鈍體（如汽車、飛機和建築物）周圍和之後的邊界層和尾跡都是湍流的。發動機（活塞發動機、燃氣輪機和燃燒器）中的流動和燃燒也是高度湍流的。房間中的空氣流動是湍流的，至少在形成壁射流的牆壁附近是湍流的。因此，當我們計算流體流動時，它很可能就是湍流。在湍流中，我們通常將速度分為一個時間平均部分 ¯vi，它與時間無關（當平均流動是穩定的時），以及一個波動部分。

沒有關於湍流的定義，但它具有許多特徵

I. '不規則性'。湍流是不規則的和混亂的（它們看起來可能是隨機的，但它們受 Navier-Stokes 方程控制。流動包含不同尺度（渦流大小）的光譜。

II. '擴散性'。在湍流中，擴散性增加。湍流增加了例如邊界層中動量的交換，從而減少或延遲了鈍體（如圓柱體、機翼和汽車）的分離。

III. '高雷諾數'。湍流發生在高雷諾數下。例如，管道中向湍流過渡發生的 ReD ≃ 2300，邊界層中發生的 Rex ≃ 500 000。

IV. '三維'。湍流始終是三維的和非穩態的。但是，當方程進行時間平均時，我們可以將流動視為二維的（如果幾何形狀是二維的）

VI. '連續介質'。即使我們有流動中的小湍流尺度，它們也遠大於分子尺度，我們可以將流動視為連續介質。

最大尺度與流動幾何形狀（例如邊界層厚度）的大小相當，長度尺度為 ℓ0，速度尺度為 v0。這些尺度從平均流動中提取動能，平均流動的時間尺度與大尺度相當，即

                        Part of the kinetic energy of the large scales is lost to slightly smaller scales with which

大尺度相互作用。透過級聯過程，動能以這種方式從最大尺度轉移到最小尺度。在最小尺度上，摩擦力（粘性應力）變大，動能轉化（耗散）為熱能。從渦流到渦流（從一個渦流到一個稍微小的渦流）轉移的動能對於每個渦流大小在單位時間內是相同的。

發生耗散的最小尺度稱為科爾莫哥洛夫尺度，其速度尺度用 vη 表示，長度尺度用 ℓη 表示，時間尺度用 τη 表示。我們假設這些尺度由粘度 ν 和耗散 ε 決定。論證如下。

粘度

Since the kinetic energy is destroyed by viscous forces it is natural to assume

粘度在決定這些尺度方面起作用；粘度越大，尺度越大。

耗散

要耗散的單位時間能量為 ε。要將動能轉化為熱能的能量越多，速度梯度就必須越大。

能量譜

如上所述，湍流波動由各種尺度組成。我們可以將它們視為渦流。事實證明，使用傅立葉級數分析湍流通常很方便。一般來說，任何週期為 2L 的週期函式 g（即 g(x) = g(x + 2L)）都可以表示為傅立葉級數。

牛頓流體的不可壓縮流動

在牛頓流體的不可壓縮流動情況下，方程得到了簡化。不可壓縮性排除了聲傳播或衝擊波，因此如果這些現象是興趣所在，則這種簡化沒有用。即使對於“可壓縮”流體（如室溫下的空氣），不可壓縮流動假設通常在低馬赫數（高達約 0.3 馬赫）下也適用良好。對於不可壓縮流動和恆定粘度，納維-斯托克斯方程如下^[1]

納維-斯托克斯方程 （不可壓縮流動）

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

張量表示法

納維-斯托克斯方程 （不可壓縮流動）

$\rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+f_{i}$

這裡f代表“其他”體力（每單位體積），例如重力或離心力。剪下應力項 $\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathsf {T}}}$ 變為 $\mu \nabla ^{2}\mathbf {v}$ ，其中 $\nabla ^{2}$ 是向量拉普拉斯運算元。^[2]

完全發展通道流中的壁面區域

壁面附近的區域非常重要。在這裡，速度梯度最大，因為速度在很短的距離內降至壁面為零。一個重要的量是壁面剪下應力，定義為 τw = μ ∂¯v1 ∂x2 ____ w 從壁面剪下應力，我們可以定義壁面摩擦速度，uτ ，為壁面摩擦 τ 速度 w = ρu2τ ⇒ uτ = _ τw ρ _1/2

為了更仔細地觀察近壁面區域，讓我們再次考慮兩個無限平板之間的完全發展通道流，

完全發展通道流中的雷諾應力

流動是二維的（¯v3 = 0 且 ∂/∂x3 = 0）。考慮 x2 − x3 平面，因為 x3 方向沒有變化，粘性剪下應力 τ32 = μ _ ∂¯v3 ∂x2 + ∂¯v2 ∂x3 _ = 0，因為 ¯v3 = ∂¯v2/∂x3 = 0。湍流部分剪下應力，v′ 2v′ 3，可以使用 Boussinesq 假設（見式 11.32）−ρv′ 2v′ 3 = μt _ ∂¯v3 ∂x2 + ∂¯v2 ∂x3 _ = 0 來表示，它也是零，因為 ¯v3 = ∂¯v2/∂x3 = 0。用同樣的論證，v′ 1v′ 3 = 0。但是請注意 v′2 3 = v2 3 6= 0。原因是，儘管時間平均流動

邊界層

到目前為止，我們主要討論了完全發展的通道流。這種流動與邊界層流動有什麼區別？首先，在邊界層流動中，對流項不為零（或可忽略），即式 6.13 的左側不為零。邊界層中的流動是不斷發展的，即其厚度 δ 正在增加。邊界層中的流動由下式描述。其次，在邊界層流動中，壁面剪下應力不是由壓降決定的；對流項也必須考慮在內。第三，邊界層的外部是高度間歇的，由湍流/非湍流運動組成。然而，邊界層內部（x2/δ < 0.1）與完全發展的通道流基本相同，線性區域和對數定律區域對於兩種流動非常相似。然而，在邊界層流動中，對數定律僅在 x2/δ ≃ 0.1 之前有效（相比之下，在通道流動中，大約為 x2/δ ≃ 0.3）。

參考文獻

↑ 見 Acheson (1990)。
↑ Batchelor (1967) 第 21 頁和第 147 頁。

[Ach-1] 見 Acheson (1990)。

[2] Batchelor (1967) 第 21 頁和第 147 頁。

[1]

[2]