傻瓜數學/CP1/阿根圖

考慮到複數由兩部分組成，我們可以將每個複數表示為兩個平面上的座標或向量：實數x軸和虛數y軸平面

使用向量表示法，上述複數可以表示為向量$a \choose b$。因此，我們可以將複數作為向量進行加減運算。或者，我們可以用複數與正實軸所成的角及其大小來表示每個複數。首先，這個角度稱為輻角：複變函式中的輻角，主輻角在區域：$-\pi <\arg z\leq \pi$。模長可以計算為：$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$。根據這些事實並使用基本的三角函式，我們可以推匯出複數的模長-輻角形式

$${\begin{aligned}|z|&=r,\arg z=\theta \\z&=a+bi\\\cos \theta &={\dfrac {a}{r}},\sin \theta ={\dfrac {b}{r}}\\z&=r(\cos \theta +i\sin \theta )\end{aligned}}$$可以使用此形式推匯出複數的幾個恆等式，如下所示。由於推導過程過於簡單，因此已省略。

$${\begin{aligned}|z_{1}z_{2}|&=|z_{1}||z_{2}|\\\arg(z_{1}z_{2})&=\arg z_{1}+\arg z_{2}\\|{\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}|&={\dfrac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\\\arg({\dfrac {z_{1}}{z_{2}}})&=\arg z_{1}-\arg z_{2}\end{aligned}}$$例題

${\begin{aligned}z_{1}=3(\cos {\dfrac {5\pi }{12}}+i\sin {\dfrac {5\pi }{12}})\\z_{2}=4(\cos {\dfrac {\pi }{12}}+i\sin {\dfrac {\pi }{12}})\\\end{aligned}}$

求 $|z_{1}z_{2}|$ 和 $\arg(z_{1}z_{2})$。

${\begin{aligned}|z_{1}z_{2}|&=|z_{1}||z_{2}|\\|z_{1}|&=3,|z_{2}|=4\therefore |z_{1}z_{2}|=12\\\arg(z_{1}z_{2})&=\arg z_{1}+\arg z_{2}\\\arg z_{1}&={\dfrac {5\pi }{12}},\arg z_{2}={\dfrac {\pi }{12}}\therefore \arg(z_{1}z_{2})={\dfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

因此，將 $z_{1}z_{2}$寫成模長-輻角形式，然後寫成笛卡爾形式：

${\begin{aligned}z_{1}z_{2}&=12(\cos {\dfrac {\pi }{2}}+i\sin {\dfrac {\pi }{2}})\\z_{1}z_{2}&=12(0+i)=12i\end{aligned}}$

我們可以使用兩個複數在複平面上構造一個三角形，其中 ${\textstyle z_{2}-z_{1}}$構成第三條邊。