防錯數學/CP1/複數

考慮一個只允許正數的數學體系。這將極大地限制可獲得的解，例如無法回答“什麼是 $5+x=-17$？”。類似的問題出現在多項式中，因為如果沒有擴充套件我們的數字體系，一些多項式將沒有解。複數包含所有實數，並引入了虛數單位，$i={\sqrt {-1}}$，使得複數具有 2 個分量

$z=a+bi$其中 $a,b\in \mathbb {R}$。 $bi$是一個虛數。引入了兩個函式來區分這兩個分量：$Re(z)=a,Im(z)=b$。複數的加減法與代數和根式運算相同，唯一需要注意的是：$i^{2}=-1$，這是一個實數，可以進一步簡化。

如前所述，二次方程現在在判別式小於 0 時有解：$b^{2}-4ac<0$意味著二次方程有兩個不同的複數解。

例項

1. $i^{3}=i^{2}i=-i$
2. 解方程 ${\textstyle z^{2}+9=0}$：$${\begin{aligned}z^{2}&=-9\\z&=\pm {\sqrt {-9}}=\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {9}}=\pm 3i\end{aligned}}$$

複數的共軛複數具有相同的實部，但虛部的符號相反。這使我們可以利用平方差公式，使兩個複數的乘積成為實數：$${\begin{aligned}z=a+bi\\z^{*}=a-bi\\zz^{*}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}$$我們可以使用之前學過的有理化分母的技巧，透過用分母的共軛複數乘以分數來除以兩個複數，即：${\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}\times {\dfrac {z_{2}^{*}}{z_{2}^{*}}}$.