形式邏輯/謂詞邏輯/真值

← 滿足性

↑ 謂詞邏輯

結束

真值

模型中的真值

我們已經定義了模型中帶有變數賦值的滿足性。我們表達了公式$\varphi \,\!$在模型${\mathfrak {M}}\,\!$下，帶有變數賦值$\mathrm {s} \,\!$為

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \,\!$

現在我們也可以說，公式$\varphi \,\!$被模型${\mathfrak {M}}\,\!$（不限於特定的變數賦值）滿足，如果$\varphi \,\!$在${\mathfrak {M}}\,\!$下，對於所有變數賦值都被滿足。因此

${\mathfrak {M}}\ \vDash \varphi \,\!$

當且僅當

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ {\mbox{for every}}\ \mathrm {s} \ .\,\!$

如果在 $\varphi ,\,\!$ 中沒有出現自由變數（也就是說，如果 $\varphi \,\!$ 是一個句子），那麼 $\varphi \,\!$ 在模型 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中為真。

變數賦值使我們能夠在進行公式的語義分析時處理自由變數。對於兩個變數賦值，$\mathrm {s_{1}} \,\!$ 和 $\mathrm {s_{2}} \,\!$，$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s_{1}} \rangle \,\!$ 的滿足與 $\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s_{2}} \rangle \,\!$ 的滿足不同，當且僅當該公式具有自由變數。但句子沒有自由變數。因此，一個模型至少滿足一個變數賦值的句子，當且僅當它滿足所有變數賦值的句子。以下兩個定義是等價的

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中為真，當且僅當存在一個變數賦值 $\mathrm {s} \,\!$，使得

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ .\,\!$

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中為真，當且僅當對於每個變數賦值 $\mathrm {s} ,\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ .\,\!$

後者只是

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中為真的一個符號變體。

${\mathfrak {M}}\ \vDash \varphi \ .\,\!$

示例

有限模型

示例模型

在上一頁，我們查看了以下模型和變數賦值。

對於模型 $I_{\mathfrak {M}}\ :\,\!$

$|{\mathfrak {M}}|\ =\ \{1,\,2,\,3\}\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(a_{0}^{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(b_{0}^{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(c_{0}^{0})\ =\ 2\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(f_{0}^{2})\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}\ {\mbox{such that:}}\quad {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,0)=2,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,1)\ =\ 1,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,2)=0,\,\!$

${\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,0)=1,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,1)\ =\ 0,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,2)=2,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,0)=0,\,\!$

${\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,1)=2,\ {\mbox{and}}\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,2)=1\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F_{0}^{2}} )\ =\ \{\langle 0,\ 1\rangle ,\ \langle 1,\ 2\rangle ,\ \langle 2,\ 1\rangle \}\ .\,\!$

對於變數賦值 $\mathrm {s} \ :\,\!$

$\mathrm {s} (x_{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$\mathrm {s} (y_{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$\mathrm {s} (z_{0})\ =\ 2\ .\,\!$

示例結果

我們注意到以下結果

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b),\ \mathrm {F} (b,c),\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (c,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a))\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,f(a,b))\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (f(a,b),a)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (a,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (b,a)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \forall x\,\forall y\,(\mathrm {F} (x,y)\rightarrow \mathrm {F} (y,x))\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \exists x\,\exists y\,(\mathrm {F} (x,y)\land \mathrm {F} (y,x))\,\!$

我們之前也注意到，對於句子（但對一般的公式並不適用），如果一個模型用至少一個變數賦值滿足該句子，那麼當且僅當它對所有變數賦值都滿足該句子。因此，上面列出的結果適用於所有變數賦值，而不僅僅是 $\mathrm {s} \,\!$.

應用我們的真值定義，我們得到

$(1)\quad \mathrm {F} (a,b),\ \mathrm {F} (b,c),\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (c,b)\ {\mbox{are True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(2)\quad \mathrm {F} (a,a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(3)\quad \mathrm {F} (a,f(a,b))\ {\mbox{is True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(4)\quad \mathrm {F} (f(a,b),a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(5)\quad \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (a,b)\ {\mbox{is True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(6)\quad \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (b,a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(7)\quad \forall x\,\forall y\,(\mathrm {F} (x,y)\rightarrow \mathrm {F} (y,x))\ {\mbox{is false in }}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(8)\quad \exists x\,\exists y\,(\mathrm {F} (x,y)\land \mathrm {F} (y,x))\ {\mbox{is true in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

這對應於前一頁的目標 (1) 到 (8)。我們現在已經實現了這些目標。

無限模型

示例模型

在模型頁面上，我們還考慮了一個無限模型 $I_{\mathfrak {M_{2}}}\ :\,\!$

$|{\mathfrak {M}}_{2}|=\{0,1,2,...\}\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(a_{0}^{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(b_{0}^{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(c_{0}^{0})\ =\ 2\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(f_{0}^{2})\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}\ {\mbox{such that}}\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(u,v)=u+v\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(\mathrm {F_{0}^{2}} )\ =\ \{\langle x,\ y\rangle :\ x<y\}\ .\,\!$

我們可以重複使用上面相同的變數賦值，即$\mathrm {s} \ :\,\!$

$\mathrm {s} (x_{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$\mathrm {s} (y_{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$\mathrm {s} (z_{0})\ =\ 2\ .\,\!$

擴充套件變數賦值的例子

在模型頁面上，我們列出了對我們定義的以下目標。

$f(a,b)\ {\mbox{resolves to}}\ 1\ \mathrm {in} \ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

這不需要我們對真值或滿足的定義；它只需要評估擴充套件的變數賦值。對於任何在$I_{\mathfrak {M}}\,\!$ 上定義的$\mathrm {s} \,\!$ 我們有

${\overline {\mathrm {s} }}(f(a,b))\ =\ I_{\mathfrak {M}}(f)\,(\ {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\ )\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(\ {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\ )\,\!$

$=\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(\ I_{\mathfrak {M}}(a),\,I_{\mathfrak {M}}(b)\ )\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,1)\,\!$

$=\ 0+1\ =\ 1\ .\,\!$

示例結果，不帶量詞

我們還在模型頁面上列出了以下目標。

$(9)\quad \mathrm {F} (a,b)\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (b,c)\ {\mbox{are True in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

$(10)\quad \mathrm {F} (c,b)\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (a,a)\ {\mbox{are False in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

首先我們注意到

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\rangle \ =\ \langle 0,\,1\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (b,c)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(b),\,{\overline {\mathrm {s} }}(c)\rangle \ =\ \langle 1,\,2\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(c),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\rangle \ =\ \langle 2,\,1\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(a)\rangle \ =\ \langle 0,\,0\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ .\,\!$

實際上

$\langle 0,\,1\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 0<1\,\!$

$\langle 1,\,2\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 1<2\,\!$

$\langle 2,\,1\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 2\not <1\,\!$

$\langle 0,\,0\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 0\not <0\ .\,\!$

因為公式 (9) 和 (10) 是句子，

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \vDash \mathrm {F} (b,c)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a)\ .\,\!$

根據真值的定義，我們發現 (9) 和 (10) 的目標已經實現。 (9) 中的句子為真，而 (10) 中的句子為假。

帶有量詞的示例結果

此外，我們在 模型頁面 上列出了以下目標。

$(11)\quad \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (x,y)\ {\mbox{is true in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

$(12)\quad \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (y,x)\ {\mbox{is false in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

對應於 (11)

$(13)\quad \langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (x,y)\,\!$

當且僅當對於域中的每個 i，以下對於域中的至少一個 j 為真：

$\langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} [x\!:\,i,x\!:\,j]\rangle \ \vDash \mathrm {F} (x,y)\ .\,\!$

但 $\mathrm {F_{0}^{2}} \,\!$ 被分配了“小於”關係。因此，上述成立當且僅當對於域中的每個成員，存在一個更大的域成員。鑑於域是 $\{0,1,2,...\},\,\!$，這顯然是正確的。因此，(13) 為真。鑑於 (11) 和 (12) 的公式是一個句子，我們發現以 (11) 表示的目標得到了滿足。

對應於 (12)

$(14)\quad \langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (y,x)\,\!$

當且僅當對於域中的每個 i，以下對於域中的至少一個 j 為真：

$\langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} [x\!:\,i,x\!:\,j]\rangle \ \vDash \mathrm {F} (y,x)\ .\,\!$

當且僅當對於域中的每個成員，都存在一個比它更小的域成員時，該命題才成立。但是，域中不存在比 0 更小的成員。因此，(14) 為假。公式 (12) 和 (14) 不能被 ${\mathfrak {M_{2}}}\,\!$ 滿足，其中變數賦值為 $\mathrm {s} \,\!$。公式 (12) 和 (14) 是一個句子，因此不能被 ${\mathfrak {M_{2}}}\,\!$ 滿足，無論變數賦值如何。公式 (12) 和 (14) (一個句子) 為假，因此滿足了 (12) 的目標。