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構建複雜推導

一個示例推導

子推導可以巢狀。例如，我們提供一個論證的推導

$\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

我們從前提開始，然後假設結論的前件。

注意。每次我們開始一個新的子推導並進入一個臨時假設時，我們希望在結束推導並放縮假設時推匯出一個特定的公式。為了使事情更容易理解，我們將這個公式新增到假設的註釋中。這個公式不會正式成為註釋的一部分，也不會影響推導的正確性。相反，它將作為一個非正式的提醒，提醒我們自己要去哪裡。

1.   $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} \,\!$   前提 2.   $\mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} \,\!$   前提 3.   $\mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   前提   4.     $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$   假設    $[\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$

這將啟動一個子推導，以推匯出論證的結論。現在我們將嘗試一個析取消去（DE）來推匯出它的後件

$\lnot \mathrm {R} \,\!$

這將需要顯示我們需要的兩個條件式，即 DE 的前件行，即

$\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

和

$\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

我們從第一個條件句開始。

5.       $\mathrm {P} \,\!$   假設    $[\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       6.         $\mathrm {R} \,\!$   假設    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$

這個子推導很容易完成。

7.         $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$   5, 6 KI 8.         $\mathrm {T} \,\!$   1, 7 CE 9.         $\lnot \mathrm {T} \,\!$   2 KE

現在我們準備撤銷第 5 行和第 6 行的兩個假設。

10.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   6–9 NI     11.     $\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   5–10 CI

現在是時候進行我們在第 4 行計劃的第二個條件句了。我們開始。

12.       $\mathrm {Q} \,\!$   假設    $[\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       13.         $\mathrm {R} \,\!$   假設    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 14.         $\mathrm {S} \,\!$   2 KE 15.         $\lnot \mathrm {Q} \,\!$   3, 14 CE

請注意，第 12 行和第 15 行之間存在矛盾。但是第 12 行的位置不對。我們需要把它放到與第 15 行相同的子推導中。下面第 16 行和第 17 行的一個小技巧將實現這一點。然後就可以撤銷第 12 行和第 13 行的假設。

16.         $\mathrm {Q} \land \mathrm {Q} \,\!$   12, 12 KI 17.         $\mathrm {Q} \,\!$   16 KE       18.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   13–17 NI     19.     $\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   12–18 CI

最後，有了第 4 行、第 11 行和第 19 行，我們可以執行自第 4 行以來一直想要的 DE。

20.     $\lnot \mathrm {R} \,\!$   4, 11, 19 DE

現在透過撤銷第 4 行的假設來完成推導。

21.   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   4–20 CI

完整的推導

這是完成的推導。

1.   $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} \,\!$   前提 2.   $\mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} \,\!$   前提 3.   $\mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   前提   4.     $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$   假設    $[\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$     5.       $\mathrm {P} \,\!$   假設    $[\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       6.         $\mathrm {R} \,\!$   假設    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 7.         $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$   5, 6 KI 8.         $\mathrm {T} \,\!$   1, 7 CE 9.         $\lnot \mathrm {T} \,\!$   2 KE       10.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   6–9 NI     11.     $\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   5–10 CI     12.       $\mathrm {Q} \,\!$   假設    $[\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       13.         $\mathrm {R} \,\!$   假設    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 14.         $\mathrm {S} \,\!$   2 KE 15.         $\lnot \mathrm {Q} \,\!$   3, 14 CE 16.         $\mathrm {Q} \land \mathrm {Q} \,\!$   12, 12 KI 17.         $\mathrm {Q} \,\!$   16 KE       18.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   13–17 NI     19.     $\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   12–18 CI 20.     $\lnot \mathrm {R} \,\!$   4, 11, 19 DE   21.   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   4–20 CI