形式邏輯/命題邏輯/推理規則

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推理規則

概述

推理規則將以以下示例中的格式顯示。

條件消除 (CE)

$(\varphi \rightarrow \psi )\,\!$

${\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!$

$\psi \,\!$

此推理規則稱為“條件消除”，縮寫為“CE”。如果上面一行中具有上述形式的公式出現在推導中的活動行中，則可以應用此規則。這些被稱為此推理的前件行。應用此規則將新增具有下面一行中形式的公式。這被稱為此推理的後件行。新推導行的註釋是前件行的行號和縮寫“CE”。

注意：您可能會看到前提行和結論行代替前件行和後件行。您也可能會看到其他術語，因為大多數教科書都會避免在這裡給出任何特殊的術語。

每個命題連線詞將有兩個推理規則，每個規則都屬於以下型別。

• 引入規則。給定連線詞的引入規則允許我們推匯出一個以給定連線詞為其主要連線詞的公式。

• 消除規則。給定連線詞的消除規則允許我們使用一個公式，該公式已出現在推導中，並以給定連線詞為其主要連線詞。

三個規則（否定引入、否定消除和條件引入）將在下一頁中介紹。這些是所謂的放電規則，將在我們介紹子推導時解釋。

三個規則（合取消除、析取引入和雙條件消除）將各有兩種形式。我們多少有些隨意地將這兩種模式視為同一規則的不同形式，而不是單獨的規則。

可以使用真值表來證明此頁上的推理的有效性。

推理規則

否定

否定引入 (NI)

將在下一頁介紹。

否定消除 (NE)

將在下一頁介紹。

合取

合取引入 (KI)

$\varphi \,\!$

${\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!$

$(\varphi \land \psi )\,\!$

合取引入傳統上被稱為並置或合取。

合取消除，形式 I (KE)

${\underline {(\varphi \land \psi )}}\,\!$

$\varphi \,\!$

合取消除，形式 II (KE)

${\underline {(\varphi \land \psi )}}\,\!$

$\psi \,\!$

合取消除傳統上被稱為化簡。

析取

析取引入，形式 I (DI)

${\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}\,\!$

$(\varphi \lor \psi )\,\!$

析取引入，形式 II (DI)

${\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!$

$(\varphi \lor \psi )\,\!$

析取引入傳統上被稱為加法。

析取消去 (DE)

$\varphi \lor \psi \,\!$

$(\varphi \rightarrow \chi )\,\!$

${\underline {(\psi \rightarrow \chi )}}\,\!$

$\chi \,\!$

析取消去傳統上被稱為情況分離。

條件

條件引入 (CI)

將在下一頁介紹。

條件消除 (CE)

$(\varphi \rightarrow \psi )\,\!$

${\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!$

$\psi \,\!$

條件消去傳統上被稱為拉丁文肯定前件，或更不常見的是肯定前項。

雙條件

雙條件引入 (BI)

$(\varphi \rightarrow \psi )\,\!$

${\underline {(\psi \rightarrow \varphi )}}\,\!$

$(\varphi \leftrightarrow \psi )\,\!$

雙條件消去，形式 I (BE)

$(\varphi \leftrightarrow \psi )\,\!$

${\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!$

$\psi \,\!$

雙條件消去，形式 II (BE)

$(\varphi \leftrightarrow \psi )\,\!$

${\underline {\psi \quad \quad \quad }}\,\!$

$\varphi \,\!$

示例

推理規則很容易應用。從以下幾行

(1)    $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {S} \leftrightarrow \mathrm {T} )\,\!$

以及

(2)    $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$

我們可以應用條件消去來新增

(3)    $\mathrm {S} \leftrightarrow \mathrm {T} \,\!$

到推導中。

註釋將是 (1) 和 (2) 的行號以及條件消去的縮寫，即 '1, 2, CE'。前提行的順序無關緊要；無論 (1) 出現在 (2) 之前還是之後，推理都是允許的。

必須記住，推理規則是嚴格的句法。語義上明顯的變體是不允許的。例如，不允許從 (1) 和以下推匯出 (3)

(4)    $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$

但是，你可以從 (1) 和 (4) 推匯出 (3)，方法是先推匯出

(5)    $\mathrm {Q} \,\!$

以及

(6)    $\mathrm {P} \,\!$

根據連線詞消去（KE）規則，我們可以得到 (6)。然後，我們可以透過連線詞引入 (KI) 規則得到 (2)，最後透過條件消去 (CE) 規則，從 (1) 和 (2) 推匯出 (3)。一些推導系統中有一個規則，通常被稱為重言式蘊涵，允許你從之前的行中推匯出任何重言式結論。然而，這應該被視為一個（公認有用的）縮寫。在後面的頁面中，我們將實現這個縮寫的受限版本。

一般來說，透過應用消去規則來分解前提、其他假設（將在後面的頁面中介紹）——然後繼續分解結果，這是很有用的。假設這就是我們對 (1) 和 (2) 應用 CE 的原因，那麼推匯出以下結論可能會有用：

(7)    $\mathrm {S} \rightarrow \mathrm {T} \,\!$

以及

(8)    $\mathrm {T} \rightarrow \mathrm {S} \,\!$

透過對 (3) 應用雙條件消去 (BE) 規則。為了進一步分解，你可以嘗試推匯出 $\mathrm {S} \,\!$ 或者 $\mathrm {T} \,\!$，這樣你就可以對 (7) 或 (8) 應用 CE。

如果你知道要推導哪一行，你可以透過應用引入規則來構建它。這就是從 (5) 和 (6) 推匯出 (2) 的策略。