形式邏輯/命題邏輯/命題聯結詞的性質

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命題聯結詞的性質

這裡列出了一些更著名、歷史上重要或其他有用的等價式和重言式。它們可以新增到聯結詞的互定義中列出的那些。我們可以在這裡繼續下去，但會嘗試保持列表的簡潔。請記住，對於每個$\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 的等價式，都存在一個相關的重言式 $\varphi \leftrightarrow \psi \,\!$.

二值性

每個公式都有且僅有一個真值。

$\vDash \ \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {P} \,\!$      排中律

$\vDash \ \lnot (\mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} )\,\!$      矛盾律

與算術定律的類比

算術中的一些熟悉定律在命題邏輯中也有類比。

自反性

條件語句和雙條件語句（但不是合取和析取）是自反的。

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \,\!$

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \,\!$

交換律

合取、析取和雙條件語句（但不是條件語句）是交換的。

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \lor \mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {P} \,\!$

結合律

合取、析取和雙條件（但非條件）是結合律。

$(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$

$(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\lor \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \leftrightarrow (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$

分配律

我們列出了十個分配律。其中，可能最重要的的是合取和析取互相分配，以及條件分配自身。

$\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land (\mathrm {P} \land \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \land \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\land (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\rightarrow (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

傳遞性

合取、條件和雙條件（但非析取）是傳遞的。

$\vDash \ (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\rightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$

其他重言式和等價式

條件句

這些重言式和等價式主要關於條件句。

$\vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \qquad \qquad \vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \qquad \qquad \vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\vDash \ \lnot \mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      條件加法

$\vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      條件加法

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} \,\!$      逆否命題

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$      匯出規則

雙條件句

這些重言式和等價關係主要與雙條件句有關。

$\vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      雙條件加法

$\vDash \ \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      雙條件加法

$\vDash (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} )\,\!$

$\lnot (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$

其他

我們重複了來自可表達性部分的可表達性中的德摩根定律，並添加了兩種額外形式。我們還列出了一些額外的重言式和等價關係。

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {P} \,\!$      冪等 對於合取

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {P} \,\!$      冪等 對於析取

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$      析取加法

$\vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$      析取加法

$\vDash \ \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot (\lnot \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {Q} )\,\!$      德摩根定律

$\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$      德摩根定律

$\lnot (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {Q} \,\!$      德摩根定律

$\lnot (\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \,\!$      德摩根定律

$\mathrm {P} \,\!$       $\lnot \lnot \mathrm {P} \,\!$      雙重否定

演繹和歸約原理

以下兩個原理將在後面的一頁中構建我們的推導系統時使用。它們可以很容易地被證明，但是——因為它們既不是重言式，也不是等價式——僅僅使用真值表是不夠的。我們這裡不嘗試證明。

演繹原理

設 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 都是公式，設 $\Gamma \,\!$ 是一組公式。

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash (\varphi \rightarrow \psi )\,\!$

歸約原理

設 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 都是公式，設 $\Gamma \,\!$ 是一組公式。

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \psi \ \ \mathrm {and} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \lnot \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash \lnot \varphi ,\!$

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\lnot \varphi \}\vDash \psi \ \ \mathrm {and} \ \ \Gamma \cup \{\lnot \varphi \}\vDash \lnot \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash \varphi \,\!$

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