形式邏輯/命題邏輯/有效性

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公式的滿足性和有效性

滿足性

在命題邏輯中，一個公式為真的解釋被認為是滿足該公式。在謂詞邏輯中，滿足的概念稍微複雜一些。一個公式是可滿足的當且僅當它在至少一個解釋下為真（也就是說，當且僅當至少一個解釋滿足該公式）。真值表的示例表明以下句子是可滿足的。

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )$

舉一個更簡單的例子，公式 $\mathrm {P} \,\!$ 是可滿足的，因為它在任何將 $\mathrm {P} \,\!$ 賦值為真值的解釋下都為真。

我們使用符號 ${\mathfrak {v}}\vDash \varphi$ 來表示解釋 ${\mathfrak {v}}\,\!$ 滿足 $\varphi \,\!$。如果 ${\mathfrak {v}}$ 不滿足 $\varphi ,$ 那麼我們寫 ${\mathfrak {v}}\not \vDash \varphi .$

滿足的概念也可以擴充套件到公式集。一個公式集是可滿足的，當且僅當存在一個解釋，在這個解釋下該集合中的每個公式都是真的（也就是說，這個解釋滿足該集合中的每個公式）。

一個公式是不可滿足的，當且僅當不存在一個解釋，在這個解釋下它是真的。一個簡單的例子是

$\mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} \,\!$

透過真值表很容易確認，無論解釋將 $\mathrm {P} \,\!$ 賦值為什麼真值，這個公式都是假的。我們說不可滿足的公式是邏輯上假的。可以說，命題邏輯的不可滿足公式（但不是謂詞邏輯的）是重言式地假的。

有效性

一個公式是有效的，當且僅當它在每個解釋下都滿足。例如，

$\mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {P} \,\!$

是有效的。透過真值表很容易確認，無論解釋將 $\mathrm {P} \,\!$ 賦值為什麼值，它都是真的。我們說有效的句子是邏輯上真的。我們稱命題邏輯的有效公式（但不是謂詞邏輯的）為重言式。

我們使用符號 $\vDash \varphi$ 來表示 $\varphi$ 是有效的，而 $\not \vDash \varphi$ 表示 $\varphi$ 不是有效的。

等價

當且僅當兩個公式在完全相同的解釋下都為真時，它們才被稱為等價。你可以透過真值表輕鬆確認，任何滿足 $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$ 的解釋也滿足 $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$。此外，任何滿足 $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$ 的解釋也滿足 $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$。因此它們是等價的。

我們可以使用以下方便的符號來表示 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 是等價的。

$\varphi \,\!$ $\psi \,\!$

當且僅當

$\vDash \ (\varphi \leftrightarrow \psi )\,\!$

論證的有效性

一個論證是指一組被指定為前提的公式，以及一個被指定為結論的單一句子。直觀地說，我們希望前提共同構成相信結論的理由。就我們的目的而言，論證是任何一組前提加上任何結論。對於一些特別愚蠢的論證來說，這可能有點人為，但論證的邏輯屬性並不取決於它是否愚蠢，也不取決於任何人是否實際上或可能認為前提是相信結論的理由。我們認為論證是好像一個人確實或可能認為前提是結論的理由，而與任何人在實際上或可能這樣做無關。即使是空前提集加上一個結論也被視為一個論證。

以下示例展示了使用幾種符號表示的相同論證。

符號 1

$\mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

因此 $\mathrm {Q} \,\!$

符號 2

$\mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

∴ $\mathrm {Q} \,\!$

符號 3

$\mathrm {P} \,\!$

${\underline {\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} }}\,\!$

$\mathrm {Q} \,\!$

符號 4

$\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {Q} \,\!$

一個論證有效當且僅當滿足所有前提的每一個解釋也滿足結論。有效論證的結論是其前提的邏輯結果。我們可以用 $\Gamma \,\!$ 作為其前提集和 $\psi \,\!$ 作為其結論，使用以下符號。

(1)    $\Gamma \vDash \psi \,\!$

(2)    $\Gamma \ \not \vDash \ \psi \,\!$

例如，我們有

$\{\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \}\ \vDash \ \mathrm {Q} \,\!$

論證的有效性，或邏輯結果，是驅動我們構建邏輯直覺的中心概念。我們想知道我們的論證是否為好的論證，也就是說，它們是否代表著好的推理。我們想知道一個論證的前提是否構成相信結論的充分理由。有效性是好的論證的一個必要特徵。但它不是唯一的必要特徵。至少有一個錯誤前提的有效論證是無用的。有效性是真理保持特徵。它不能告訴我們結論是真實的，只能告訴我們論證的邏輯特徵是，如果前提為真，那麼結論也為真。有真前提的有效論證是健全的。

好的論證還有其他不太正式的特徵。僅僅因為前提為真，並不意味著人們相信它們，我們有理由相信它們，或者我們可以收集證據來證明它們。還應該注意的是，有效性只適用於某些型別的論證，特別是演繹論證。演繹論證旨在有效。演繹論證的典型例子是數學證明。歸納論證，科學論證是其典型例子，並非旨在有效。前提的真實性並非旨在保證結論的真實性。相反，前提的真實性旨在使結論的真實性極有可能或有可能。在科學中，我們不打算提供數學證明。相反，我們收集證據。

公式和論證

對於每一個有效的公式，都存在一個相應的有效論證，該論證以有效的公式為其結論，以空集為其前提集。因此

$\vDash \psi \,\!$

當且僅當

$\varnothing \vDash \psi \,\!$

對於每個具有有限前提的有效論證，都存在一個對應的有效公式。考慮一個結論為 $\psi \,\!$，前提為 $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n}\,\!$ 的有效論證。

$\varphi _{1},\ \varphi _{2},\ ...,\ \varphi _{n}\vDash \psi \,\!$

那麼存在一個對應的有效公式

$\varphi _{1}\land \varphi _{2}\land ...\land \varphi _{n}\rightarrow \psi \,\!$

對應於有效論證

$\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {Q} \,\!$

以下有效公式

$\mathrm {P} \land (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

蘊含

你可能會看到一些將我們的箭頭 $\rightarrow \,\!$ 解釋為“蘊含”，並將“蘊含”用作“條件句”的替代詞。這通常被認為是使用-提及錯誤。在普通英語中，以下被認為是語法正確的

(3)    “有煙就意味著有火”。

(4)    “有煙” 蘊含 “有火”。

在 (3) 中，我們有一個事實或命題或其他任何東西（哲學家目前最喜歡的是命題）蘊含另一個相同型別的東西。在 (4) 中，我們有一個句子蘊含另一個句子。

但以下被認為是不正確的

有煙意味著有火。

這裡，與 (3) 相比，沒有引號。沒有東西是主體進行蘊含，也沒有東西是被蘊含的物件。相反，我們是在用較小的句子組成一個更大的句子，好像“蘊含”是一個語法連線詞，比如“只有如果”。

因此，邏輯學家傾向於避免使用“蘊含”來表示條件句。相反，他們使用“蘊含”來表示具有邏輯結果，並使用“蘊含”來表示有效論證。在這樣做的時候，他們遵循的是 (4) 而不是 (3) 的模型。特別是，他們將 (1) 和 (2) 解釋為 '$\Gamma \,\!$ 蘊含（或不蘊含） $\psi \,\!$。

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