微積分、狹義相對論和量子力學基礎/導數

微積分領域基於三個基本概念：極限、導數和積分。其中，極限是最基本的，是導數和積分的基礎。本章將介紹極限，然後由此構建導數。下一章，積分，將介紹積分。本文假設讀者已經熟悉一維或多維函式的基本概念及其符號（例如 $f(x)=y$ 或 $f(x,y)=z$ ）。

極限

極限寫作：

\lim _{x\to X}f(x)=Y

讀作“當 $x$ 趨近於 $X$ 時， $f(x)$ 的極限為 $Y$ ”。這意味著，當函式的輸入變數 $x$ 取值任意接近指定值 $X$ 時，輸出 $f(x)$ 將任意接近極限值 $Y$ 。對於感興趣的人，可以使用 ε-δ 論證精確地定義極限。

右邊的圖是以下極限的圖形表示：

\lim _{x\to 2}f(x)=f(2)

乍一看，這似乎是一個微不足道的陳述，但許多在微積分學習中遇到的極限並不那麼直截了當。在這裡，函式輸入變數的指定值為 $2$ ，而 $x$ 的任意接近的值由 $2+\delta$ 和 $2-\delta$ 表示。同樣，這裡的極限值為 $f(2)$ ，而 $f(x)$ 的任意接近的值由 $f(2)+\varepsilon$ 和 $f(2)-\varepsilon$ 表示。從圖中可以看出，當 $x$ 在 $2\pm \delta$ 內的任何值越接近 $2$ ，相應的 $f(x)$ 值（落在 $f(2)\pm \varepsilon$ 內），將越來越接近 $f(2)$ 。因此，這個極限等於，或被定義為 $f(2)$ 。

極限並不總是可以在任何給定點被定義。當一個函式在 $X$ 處有漸近線時，就會出現一個簡單的例子，並且 $f(x)$ 不斷逼近的唯一值為無窮大！在這種情況下，我們有一個等於無窮大的極限，這是未定義的。

\lim _{x\to X}f(x)=\infty

限制也可以在任意多個維度中定義，這引入了另一種可能的未定義限制情況。其原理相同，即當輸入變數趨近於某個指定值時，輸出趨近於極限值。然而，隨著輸入變數的增多，當分別考慮不同的輸入變數時，輸出有可能趨近於不同的極限值。在這種情況下，極限未定義。

是否在函式域中的某個點或點集處定義了極限，這在人們希望使用函式的導數和積分時將變得重要。這將在接下來的章節中變得更加清楚。

一階導數

導數是一個函式，它描述了另一個函式的變化率。可以說，最基本的導數形式，一階導數可以用函式的圖形來概念化。函式 $y=f(x)$ 的一階導數給出了 $y$ 隨 $x$ 變化的變化率。考慮函式 $f(x)=x$ 的圖形，該圖形繪製在右側的第一個圖中。在這個函式中，很明顯，如果 $x$ 增加一個單位， $y$ 也會增加一個單位。這意味著 $y$ 隨 $x$ 變化的變化率是一個單位每單位，或者簡稱為一。這意味著該函式的一階導數始終等於一，寫成這樣

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=1

請注意，從基本代數來看，函式 $f(x)=x$ 的斜率為一。因此，在這種情況下，函式的導數等於函式的斜率。這裡的 $\mathrm {d}$ 符號稱為微分元，表示一個極小的變化。因此，這裡寫出的導數是 $y$ 的極小變化除以 $x$ 的極小變化。這通常用作一階導數的記號，但它不是正式定義。一階導數的正式定義給出了一個公式，該公式描述了所討論函式的變化率，並使用極限來確定上面提到的“極小變化”。公式如下

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

這裡， $x$ 的變化用 $h$ 表示，而 $y$ 的變化則用（最終值 - 初始值）的形式表示。在這種情況下，初始值由 $f(x)$ 給出，最終值由 $f(x+h)$ 給出。考慮到這一點，極限內的商明顯地給出了圖上任意兩點之間的平均變化率，這兩個點被某個 $h$ 分隔開。

這可以透過在兩點之間畫一條割線來直觀地表示，如右圖第二張圖所示。同樣從代數中可以清楚地看到，前面討論的商等於這條割線的斜率。這個斜率當然在整個割線上是恆定的，因為它實際上是一條直線。然而，被描繪函式的瞬時變化率不是恆定的。隨著 $x$ 值的增加， $y=f(x)$ 的值開始隨著每個 $x$ 越來越快地增加。根據其概念定義，一階導數應該表示函式中任何特定點的這個變化率，而不是函式區間內的單個平均值。因此，這裡的割線斜率與函式的導數不一致。

這就是極限發揮作用的地方。對於任何 $h$ 值，這條割線將給出區間內的平均變化率，而不是單個點的變化率。一個點的變化率可以透過切線來表示，切線只與函式內的一個點相切。這裡可以透過將兩點之間的 $x$ 距離，或 $h$ 設定為零來利用這個兩點商。然而，這將在分母中放置一個零，使商未定義。為了解決這個問題，可以考慮商的極限 $\lim _{h\to 0}$ 。

當求值時，這個極限將產生一個新函式（而不是像第一個例子中那樣只是一個常數），這個函式給出了原始函式中任何點的切線斜率。這個新函式是原始函式的一階導數。

可微性

一階導數可能不會在每個函式的每個點上都定義。如果函式 $f(x)$ 的一階導數對於某個點 $x$ 定義，那麼 $f(x)$ 被稱為在 $x$ 處可微。如果導數在函式域的每個點上都存在，那麼可以簡單地說整個函式是一個可微函式。

考慮函式域中的一個點，使得函式在該點不可微。函式的導數在此處不存在。從概念上講，這意味著在此點無法繪製唯一的切線。一個簡單的例子是絕對值函式， $f(x)=|x|$ ，在右側的下一張圖中繪製。考慮點在 $x=0$ 。在這裡，圖形形成一個尖角，可以看出可以繪製任意數量的切線。因此，此函式的導數在此處沒有明確定義，並且函式在此點不可微。

在數學上，這意味著一階導數的定義沒有定義。對於任何 $f(x)$ 定義的點，這僅在極限 $\lim _{h\to 0}$ 不存在時發生。

多元導數

函式的二階導數只是函式的一階導數的導數。類似地，三階導數是二階導數的導數。這個想法可以擴充套件到形成任意數量的後續導數，其中 $y=f(x)$ 的**n^th階導數**通常寫成

{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}

這個原理的一個概念性例子來自基礎物理學。如果函式 $f(x)$ 代表物體的位移，那麼函式的一階導數將代表物體位移的變化率，定義為其速度。二階導數將代表物體速度的變化率，定義為其加速度。三階導數將代表物體加速度的變化率（通常稱為“加加速度”），等等。

對於某些函式，在得到的結果函式不再可微之前，只能進行有限數量的求導。對於其他函式，無論已經求導了多少次，都可以繼續求導。這種函式被稱為**無限可微**。

偏導數

當函式依賴於多個變數時，使用**偏導數**。它也給出了函式輸出的變化率，但僅針對一個輸入變數，而其他變數保持不變。考慮一個函式 $w=f(x,y,z)$ 。關於 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的三個偏導數將寫成

{\frac {\partial w}{\partial x}},{\frac {\partial w}{\partial y}},{\frac {\partial w}{\partial z}}

讀作“ $w$ 對 $x$ 的偏導數”，或者簡單地說“偏 $w$ ，偏 $x$ ”（ $y$ 和 $z$ 也是如此）。 $\partial$ 符號讀作“偏”，它仍然代表一個微分元素，與 $\mathrm {d}$ 一樣。符號上的差異僅僅是為了更清楚地區分偏導數和前面討論的非偏導數，後者被稱為普通導數。可微性和多元導數的原理同樣適用於偏導數，就像它們適用於普通導數一樣。

符號

多年來，人們已經開發出幾種關於導數符號的系統。建議微積分的學生熟悉這些符號系統。下表列出了四種主要符號系統的示例，它們分別寫出了函式 $y=f(x)$ 的四種導數。這些示例導數從左到右分別是：關於 $x$ 的一階普通導數、關於 $x$ 的二階普通導數、關於 $x$ 的一階偏導數、關於 $x$ 的二階偏導數。

萊布尼茨符號	拉格朗日符號	尤拉符號	牛頓符號
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},{\frac {\partial y}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$	$f'(x),f''(x),f_{x},f_{xx}$	$Df,D^{2}f,\partial _{x}f,\partial _{xx}f$	${\dot {y}},{\ddot {y}}$

在這些符號中，萊布尼茨的符號被許多人認為是最清晰的，並且將成為本文采用的約定。值得注意的是，牛頓的符號通常只在力學中特定情況下使用，其中自變數代表時間，導數隨後代表每單位時間的變化率，例如速度。雖然該系統中確實存在偏導數的符號，但它並不簡單明瞭，此處不給出示例。建議讀者參考維基百科關於微分符號的文章，瞭解這些符號系統細微差別的詳細資訊。