物理學基礎/一維運動

一維運動的目標是理解加速度 ($a$) 如何驅動速度 ($v$) 和位置 ($x$) 在單個運動方向（一維）上的變化。 “物體”是指任何可以移動的東西，比如球、汽車、卡車或人。 一維是指物體只沿著直線運動，通常沿著 $x$ 軸（如果它向左或向右移動）或沿著 $y$ 軸（如果它向上或向下移動）。 你需要兩個公式來完成這部分，

$x=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$,

第二個公式是

$v=v_{0}+a\Delta t$.

如果物體在 $x_{0}$ 位置，速度為 $v_{0}$，那麼在時間間隔 $\Delta t$ 之後，$x$ 和 $v$ 將是物體新的位置和速度。這兩個公式允許你計算物體的新的位置和速度（$x$ 和 $v$），基於其舊位置和速度（$x_{0}$ 和 $v_{0}$），以及作用在物體上的加速度 $a$，在時間間隔 $\Delta t$ 內。 $\Delta t$ 有時被稱為“時間步長”，它是物體擁有 $x_{0}$ 和 $v_{0}$ 與擁有 $x$ 和 $v$ 之間的間隔時間。

我們說過 $a$ 驅動 $v$ 和 $x$ 的變化。注意在這些方程中，如果 $a=0$，那麼 $v=v_{0}$，這意味著 $v$ 在時間步長之間沒有變化；如果 $a=0$，$v$ 是恆定的。為了使 $v$ 發生變化，$a$ 必須非零。換句話說，物體的速度只有在有加速度的情況下才會改變。對於 $x$ 軸（左右運動），我們有

$x=x_{0}+v_{0x}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{x}\Delta t^{2}$

和

$v_{x}=v_{0x}+a_{x}\Delta t$.

對於 $y$ 軸（上下運動），我們有

$y=y_{0}+v_{0y}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{y}\Delta t^{2}$

和

$v_{y}=v_{0y}+a_{y}\Delta t$.

這些方程是一樣的，只是符號不同，非常具體地表明它屬於哪個軸。

數值示例

As an example, Suppose you have a sphere at $x=5$ m with speed $v=1$ m/s and an acceleration of $a=0.5$ m/s$^{2}$. When the next frame comes up, say $\Delta t=0.1$ s later, where will the sphere be and what will its speed be? Use the equations to get that $x=5\mathrm {m} +(1\mathrm {m/s} )(0.1\mathrm {s} )+(0.5)(0.5\mathrm {m/s} ^{2})(0.1\mathrm {s} )^{2}$ or $x=5.1025$ m and $v=1\mathrm {m/s} +(0.5\mathrm {m/s} ^{2})(0.1\mathrm {s} )$ or $v=1.05$ m/s. Be sure you see how the equations allowed you to compute the new position and speed of the object over the time step $\Delta t$. You can iteratively use this new $x$ and $v$ as a new $x_{0}$ and $v_{0}$ (i.e. $x\rightarrow x_{0}$ and $v\rightarrow v_{0}$) for computing still another $x$ and $v$ another $\Delta t$ in the future. Can you find $x$ and $v$ after another $\Delta t$ has gone by? In the Figure 3.22 find the acceleration of the masses and the tension in the string.

符號

請特別注意符號。想象一個笛卡爾座標系，其中 $+x$ 指向右側，$-x$ 指向左側，$+y$ 指向上方，$-y$ 指向下，（假設 $\Delta t$ 始終為正值）。正的位置值表示物體位於原點的右側 ($x$)，或上方 ($y$)。負值表示物體位於原點的左側 ($x$)，或下方 ($y$)。正的速率值表示物體向右側 ($v_{x}$) 或向上 ($v_{y}$) 移動，負值表示向左側 ($v_{x}$) 或向下 ($v_{y}$) 移動。 $a$ 的符號本身並不能立即幫助我們描述物體的運動。然而，如果 $a$ 和 $v$ 符號相同，則 $v=v_{0}+a\Delta t$ 將預測 $v$ 會增加（即如果 $v$ 和 $a$ 符號相同，物體將加速）。同樣，如果 $v$ 和 $a$ 符號相反，物體將減速。

當 $v$ 和 $a$ 的符號相反時，意味著 $v$ 會越來越小，直到最終 $v=0$，此時物體將停止運動。如果 $a$ 仍然存在，那麼 $v$ 將開始沿與 $a$ 相同的方向增大；現在物體正在加速，但方向與它最初的運動方向相反。總的來說，物體減速，停止，然後開始沿相反方向加速。 $v$ 和 $a$ 之間的符號的所有組合都是可能的。 $v>0$ 並且 $a<0$ 是一個減速並可能轉向的情況，與 $v<0$ 並且 $a>0$ 一樣。 $v>0$ 並且 $a>0$ 或 $v<0$ 並且 $a<0$ 是加速的情況，但方向相反。最後，你應該能夠在物體上畫箭頭，表示它的 $v$ 和 $a$ 以及那一瞬間。箭頭應該指向給定引數的方向，其長度應該與其強度成比例。例如，如果在一個物體上，$v$ 的箭頭和 $a$ 的箭頭方向相反，那麼你就會知道物體正在減速。