物理基礎/二維運動

基礎

本節的目標是理解物體如何在完全的二維空間中運動。相比之下，一維運動集中在嚴格沿 $x$ 或 $y$ 軸上的運動。二維運動是指物體沿 $x$ 和 $y$ 軸“同時”進行的運動。物體在二維空間中的位置可以透過其 $(x,y)$ 座標來繪製。這些座標可以透過以下方程式找到

$x=x_{0}+v_{0x}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{x}\Delta t^{2}$

以及

$y=y_{0}+v_{0y}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{y}\Delta t^{2}$.

請注意，物體在移動時，其沿兩個軸的速度也會發生變化，具體公式如下：

$v_{x}=v_{0x}+a_{x}\Delta t$

以及

$v_{y}=v_{0y}+a_{y}\Delta t$.

自由落體運動中的速度 x 和 y 分量

請記住，$x$ 和 $y$ 座標相互垂直，也就是說 $x$ 和 $y$ 軸是正交的。這在數學和物理學中是一種特殊的關係，意味著沿一個軸的過程不會影響沿另一個軸的過程。因此，沿 $x$ 軸發生的任何事情都不會影響沿 $y$ 軸發生的事情，反之亦然。這是一個需要理解的關鍵概念。二維運動有時被稱為“拋射運動”，它包含在重力影響下在空間中飛行的物體。棒球、炮彈、在空間中移動的籃球都是拋射運動的例子。在地球表面附近，飛行中的拋射物運動受到限制，其中 $a_{x}=0$ 以及 $a_{y}=-g=-9.8$ m/s²。鑑於這些限制，您可以立即找到 $x=$ 和 $y=$ 方程式的形式。您還可以找到 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 方程式，注意 $v_{x}$ 將始終等於一個常數 (v_x0)，因為根據正交性，g（重力）隻影響 y 和 v_y。

向量需求

在任何給定時間，您的物體將有四個量來描述其運動：$x$，$y$，$v_{x}$ 和 $v_{y}$。由於位置和速度現在都有兩個分量（或部分），位置和速度將是“向量”，分別稱為 ${\vec {r}}$ 和 ${\vec {v}}$。 ${\vec {r}}$ 將由兩個分量組成，即物體的 $x$ 和 $y$ 座標。類似地，${\vec {v}}$ 將由分量 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 組成。正如您將看到的，${\vec {r}}$ 和 ${\vec {v}}$ 的兩個分量使它們都具有大小（強度、長度等）和方向，您必須知道如何處理它們。

向量：大小和角度

處理向量有兩種方法，你應該熟練掌握這兩種方法。第一種方法是“大小-角度形式”，你需要報告向量的**大小**和它指向的角度。對於位置，大小（或從原點到該點的總距離）為$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$。該向量相對於+x軸的角度由$\theta$給出，其中$\theta =\tan ^{-1}{\frac {|y|}{|x|}}$。絕對值符號很重要，它可以消除可能出現的任何負值，並確保角度相對於+x軸。速度向量以類似的方式跟蹤，即$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$，其中$\alpha =\tan ^{-1}{\frac {|v_{y}|}{|v_{x}|}}$，其中$\alpha$是速度向量相對於+x軸的角度，本質上是物體在那一瞬間的運動方向。確保你理解為什麼向量具有大小和角度，並且確保你能從給定的向量分量計算出兩者。

向量：分量形式（或 i,j,k 表示法）

表示向量的另一種方法是使用“分量形式”。在這種形式中，每個分量都緊挨著一個單位向量列出，指定該分量與哪個軸相關聯。如果一個物體在 x 軸上移動了 $5$ 米，在 y 軸上移動了 2 米，那麼 ${\vec {r}}=5{\hat {i}}+2{\hat {j}}$，其中 ${\hat {i}}$ 和 ${\hat {j}}$ 分別是 x 軸和 y 軸上的單位向量。同樣，如果一個物體的速度在 x 方向上的分量為 3 m/s，在 y 方向上的分量為 -2 m/s，那麼它的速度向量將為 ${\vec {v}}=3{\hat {i}}-2{\hat {j}}$。在一些數學教科書中，使用等效的括號表示法：${\vec {v}}=[3,-2]$ 等效於 ${\vec {v}}=3{\hat {i}}-2{\hat {j}}$。在這兩種表示法中，我們都說 ${\vec {v}}$ 的 x 分量 為 $3$ 個單位，而 y 分量 為 $-2$ 個單位（當用鉛筆和紙進行代數運算時，通常會在單位選擇對讀者來說很明顯的情況下省略單位）。這些 x 和 y 分量可以用下標表示：$v_{x}=3$ 和 $v_{y}=-2$

勻速圓周運動

在上一節中，我們研究了當加速度向量為常數時二維空間中的運動，這會導致沿著拋物線路徑的運動。另一種簡單的運動型別是勻速圓周運動。這裡，勻速指的是物體在圓周運動中速度保持不變。在這種型別的運動中，物體始終具有指向圓心方向的加速度向量。如果圓的半徑為 $r$，速度為 $v$ 且保持不變，則加速度向量的模為 $a={\frac {v^{2}}{r}}$。雖然加速度的大小保持不變，但加速度向量並非保持不變，因為它的方向相對於時間是變化的。這種加速度被稱為“向心加速度”。