GCSE 科學/動能

過山車的汽車在軌道的最低點達到最大的動能。當它們開始上升時，動能開始轉化為重力勢能，但系統中的總能量保持不變；假設摩擦和其他能量轉換因素可以忽略不計。

物體的 **動能** 是由於其運動而具有的額外能量。它被定義為 *將一個給定質量的物體從靜止加速到其當前速度所需的功*。物體在加速過程中獲得這種能量後，除非其速度改變，否則將保持這種動能。需要相同大小的負功才能將物體從該速度返回到靜止狀態。

詞源

"動能" 這個形容詞的根源來自希臘語中的 "運動" (kinesis)。術語 *動能* 和 *功* 及其現在的科學含義可以追溯到 19 世紀中葉。對這些想法的早期理解可以歸功於加斯帕德·古斯塔夫·科里奧利，他在 1829 年發表了一篇名為 *Du Calcul de l'Effet des Machines* 的論文，概述了動能的數學理論。

威廉·湯姆森（後來的開爾文勳爵）被認為在 1849 年左右創造了 *動能* 這個術語。

介紹

能量有各種形式：化學能、熱能、電磁輻射、勢能（重力、電、彈性等）、核能、靜止能量。這些可以分為兩大類：勢能和動能。

動能可以透過展示它如何從其他形式的能量轉化而來以及如何轉化為其他形式的能量的例子來最好地理解。例如，騎腳踏車的人會使用食物提供的化學能來加速腳踏車到選定的速度。這種速度可以保持，無需進一步做功，除了克服空氣阻力和摩擦力。能量已經轉化為運動的能量，即 **動能**，但這個過程並不完全有效，騎車者體內也會產生熱量。

運動中的腳踏車和騎車者中的動能可以轉化為其他形式。例如，騎車者可能會遇到一個剛好可以爬上去的山坡，這樣腳踏車在山頂就會完全停下來。動能現在已經很大程度上轉化為重力勢能，可以透過在山的另一邊自由滑行來釋放。（由於腳踏車損失了一些能量給摩擦力，因此在沒有進一步踩踏的情況下，它永遠不會恢復所有速度。請注意，能量並沒有被破壞；它只是透過摩擦轉化為另一種形式。）或者，騎車者可以將一臺發電機連線到其中一個車輪上，並在下降過程中產生一些電能。腳踏車在山底的速度會更慢，因為一些能量被轉移到了發電。另一種可能性是騎車者使用剎車，在這種情況下，動能會透過摩擦作為熱能消散。

與任何作為速度函式的物理量一樣，物體的動能不僅取決於該物體的內部性質。它還取決於該物體與觀察者之間的關係（在物理學中，觀察者由一類特殊的座標系正式定義，稱為 *慣性參考系*）。像這樣的物理量被稱為非 *不變* 的。動能與物體共存，並對其引力場有所貢獻。

計算

有幾個不同的公式可用於計算物體的動能。在許多情況下，它們給出的答案几乎相同，在可測量的精度範圍內。如果它們不同，則選擇哪個公式取決於物體的速度或大小。因此，如果物體以遠小於光速的速度運動，則牛頓（經典）力學將足夠精確；但如果速度與光速相當，則相對論將對結果產生重大影響，應使用相對論。如果物體的大小是亞原子的，則量子力學方程最適合。

牛頓動能

剛體的動能

在經典力學中，"點物體"（一個大小可以忽略的物體）或非旋轉剛體的動能由方程 $E_{k}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$給出，其中 m 是質量，v 是物體的速度。

例如，計算一個以 18 米每秒（40 英里每小時）的速度運動的 80 千克質量的動能，計算結果為

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot 80\cdot 18^{2}=12,960\ \mathrm {joules}$.

請注意，動能隨速度的平方而增加。這意味著，例如，一個物體以兩倍的速度運動將具有四倍的動能。因此，一輛汽車以兩倍的速度行駛需要四倍的距離才能停下來（假設制動力恆定。見機械功）。

因此，可以使用以下公式計算動能

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中

E_k 是動能，單位為焦耳

m 是質量，單位為千克，以及

v 是速度，單位為米每秒。

對於質量為 *m* 的物體的 *平移動能*，其質心以速度 *v* 沿直線運動，如上所述，等於

$E_{t}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$

其中

m 是物體的質量

v 是物體質心的速度。

因此，動能是一個相對的量度，不能說任何物體都具有唯一的動能。火箭發動機可以被看作是將能量傳遞給火箭飛船或排氣流，這取決於選擇的參考系。但系統的總能量，即動能、燃料化學能、熱能等，無論選擇何種測量系，都會保持守恆。

物體的動能與其動量之間的關係由以下方程式給出：

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

推導和定義

在無窮小時間間隔dt內加速粒子的功由力和位移的點積給出：

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )$

應用乘積法則，我們可以看到：

$d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} )$

因此（假設質量恆定），我們可以看到：

$\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)$

由於這是一個全微分（即，它只取決於最終狀態，而與粒子如何到達那裡無關），我們可以對其進行積分，並將結果稱為動能：

$E_{k}=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} ={\frac {mv^{2}}{2}}$

該方程式指出，動能（E_k）等於物體的速度（v）與物體動量變化的無窮小量（p）的點積的積分。假設物體在靜止（靜止不動）時沒有動能。

系統的動能

對於單個點或沒有旋轉的剛體，當物體停止時，動能變為零。

然而，對於包含多個獨立運動的物體的系統，它們可能彼此之間施加力，並且可能（也可能不）旋轉；這就不再成立了。

這種能量被稱為“內能”。

系統在任何時刻的動能，僅僅是所有質量動能的總和，包括旋轉帶來的動能。

太陽系就是一個例子。在太陽系的質心繫中，太陽是（幾乎）靜止的，但行星和矮行星都在它周圍運動。因此，即使在靜止的質心繫中，也仍然存在動能。

但是，從不同的參考系重新計算能量將很繁瑣，但有一個技巧。系統在不同慣性系的動能，可以簡單地從質心繫的動能總和計算出來，再加上質心繫中所有物體質量的動能（如果它們以兩個參考系之間的相對速度運動）。

這可以簡單地證明：設V為參考系k相對於質心繫i的相對速度

$E_{k}=\int {\frac {v_{k}^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(v_{i}+V)^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(v_{i}^{2}+2v_{i}V+V^{2})dm}{2}}=\int {\frac {v_{i}^{2}dm}{2}}+V\int v_{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm$

然而，令 $\int {\frac {v_{i}^{2}dm}{2}}=E_{i}$ 為質心繫中的動能，$\int v_{i}dm$ 將僅僅是總動量，根據定義，在質心繫中總動量為零。令總質量：$\int dm=M$ 。代入後，得到：

$E_{k}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}$

因此，系統的動能取決於慣性參照系，相對於質心參照系，動能最低，即在質心靜止的參照系中。在任何其他參照系中，都存在著與總質量以質心速度運動相對應的額外動能。

旋轉物體

如果剛體繞過質心的任意直線旋轉，則它具有旋轉動能 ($E_{r}$)，它僅僅是其運動部件的動能之和，因此它等於

$E_{r}=\int {\frac {v^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int {r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I\omega ^{2}$

其中

ω 是物體的角速度。

r 是任何質量 dm 到該線的距離。

I 是物體的轉動慣量 $=\int {r^{2}}dm$

（在該方程式中，轉動慣量必須繞過質心的軸線取，ω 度量的旋轉必須圍繞該軸線進行；對於物體由於其偏心形狀而發生擺動的情況，存在更通用的方程式）。

系統中的旋轉

有時，將物體的總動能分解為物體質心平動動能和繞質心旋轉動能之和比較方便

$E_{k}=E_{t}+E_{r}\,$

其中

E_k 是總動能

E_t 是平動動能

E_r 是靜止系中的旋轉能或角動能

因此，飛行中的網球的動能是由於其旋轉而產生的動能，加上由於其平動而產生的動能。

剛體的相對論動能

在狹義相對論中，我們必須改變線性動量的表示式。分部積分後，我們得到

$E_{k}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})$

記住 $\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!$，我們得到

$E_{k}=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}+C$

因此

$E_{k}=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))+C=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})+C=m\gamma c^{2}+C\!$

積分常數可以透過觀察 $\gamma =1\!$ 當 $\mathbf {v} =0$ 時得出，因此我們得到了通常的公式

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

如果物體的速度是光速的很大一部分，則必須使用相對論力學（阿爾伯特·愛因斯坦提出的相對論）來計算其動能。

對於相對論物體，動量 p 等於

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$,

其中 m 是靜止質量，v 是物體的速度，c 是真空中的光速。

因此，將物體從靜止加速到相對論速度所需的功為

$E_{k}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}$.

該方程表明，當速度 v 接近光速 c 時，物體的能量趨於無窮大，因此不可能將物體加速穿過此邊界。

此計算的數學副產品是質能等價公式——靜止的物體必須具有等於

$E_{\mbox{rest}}=mc^{2}\!$

在低速 (v<<c) 下，相對論動能可以用經典動能很好地近似。這是透過二項式近似完成的。實際上，對平方根進行泰勒展開並保留前兩個項，我們得到

$E_{k}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}$,

因此，總能量 E 可以被劃分為靜止質量的能量加上低速下的傳統牛頓動能。

當物體以遠低於光速的速度運動時（例如，在地球上發生的日常現象中），級數的前兩項占主導地位。近似中的下一項對於低速來說很小，可以透過將展開式擴充套件到泰勒級數再增加一項來找到

$E\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}\right)=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}$.

例如，對於 10 公里/秒的速度，對牛頓動能的修正為 0.07 焦耳/千克（在 50 兆焦耳/千克的牛頓動能上），對於 100 公里/秒的速度，修正為 710 焦耳/千克（在 5 吉焦耳/千克的牛頓動能上），等等。

對於更高的速度，狹義相對論動能的公式是透過從總能量中減去靜止質量能得到的

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-1\right)$.

在這種情況下，動能與動量之間的關係更加複雜，由以下公式給出

$E_{k}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$.

這也可以展開成泰勒級數，它的第一項就是牛頓力學中的簡單表示式。

這表明能量和動量的公式並非特殊和公理化的，而是從質量與能量的方程和相對論原理中得出的概念。

剛體的量子力學動能

在量子力學領域，電子動能的期望值，$\langle {\hat {T}}\rangle$，對於由波函式$\vert \psi \rangle$描述的電子系統，是一系列單電子算符期望值的總和

$\langle {\hat {T}}\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{\bigg \langle }\psi {\bigg \vert }\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}{\bigg \vert }\psi {\bigg \rangle }$

其中$m_{e}$是電子的質量，$\nabla _{i}^{2}$是作用於第i個電子的座標的拉普拉斯算符，求和在所有電子上進行。請注意，這是動量動能非相對論表示式量化後的版本。

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

量子力學的密度泛函形式只要求知道電子密度，即它形式上不需要知道波函式。給定一個電子密度$\rho (\mathbf {r} )$，精確的 N 電子動能泛函是未知的；然而，對於一個電子的特定情況，動能可以寫成

$T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

其中，$T[\rho ]$被稱為魏茨澤克動能泛函。

一些例子

航天器利用化學能起飛並獲得相當大的動能以達到軌道速度。發射過程中獲得的這種動能在軌道上保持恆定，因為幾乎沒有摩擦力。然而，在再入大氣層時，動能轉化為熱量，這一點變得很明顯。

動能可以從一個物體傳遞到另一個物體。在臺球遊戲中，玩家用球杆擊打母球，使母球獲得動能。如果母球與另一個球發生碰撞，它會明顯減速，而它碰撞的球會加速到一定速度，因為動能傳遞給了它。檯球中的碰撞實際上是彈性碰撞，動能得以儲存。

飛輪正在被開發為一種儲能方式（參見文章飛輪儲能）。這說明動能也可以是旋轉的。請注意，關於飛輪的文章中用於計算旋轉動能的公式不同，但類似。

筆記

參考文獻

• Serway, Raymond A. (2004). Physics for Scientists and Engineers (第 6 版 ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. {{cite book}}: |edition= has extra text (help); Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (第 5 版 ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
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• 聖安德魯斯大學數學與統計學院 (2000). "Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843) 傳記". Retrieved 2006-03-03.
• 牛津詞典, 牛津詞典 1998