普通天文學/開普勒定律

約翰尼斯·開普勒是一位數學家，他試圖推匯出一個基本原理集，以解釋行星的運動。他相信哥白尼提出的日心說，並且他擁有第谷·布拉赫對行星的一系列豐富觀測資料。

經過二十年的艱苦嘗試和基於幾何學的各種被拋棄的想法後，他終於得出了一個基於橢圓的軌道運動數學模型。開普勒以行星運動三定律的形式總結了他的發現，通常分別稱為開普勒第一定律、第二定律和第三定律。

• 開普勒第一定律，也被稱為橢圓定律——行星的軌道是橢圓，太陽位於一個焦點上。
• 開普勒第二定律，或等時間等面積定律——行星與太陽之間的直線在行星軌道平面上掃過相等面積，所用時間也相等。
• 開普勒第三定律，或和諧定律——行星繞太陽執行所需的時間，稱為週期，與橢圓長軸的一半的3/2次方成正比。比例常數對所有行星都是一樣的。它通常被稱為和諧定律，因為它顯示了距離和週期之間的和諧關係。

當時他制定這些定律時，還沒有一個發展完善的引力理論能夠解釋為什麼行星以觀察到的方式運動。後來，艾薩克·牛頓利用他的萬有引力平方反比定律理論，證明了開普勒定律是如何符合天體力學的科學理論的。

橢圓軌道

橢圓是一種由圓錐體對角切片形成的形狀。它本質上是圓形在一定角度下的形狀。

你可以用一張紙、兩枚圖釘、一根線圈和一支鉛筆來畫一個橢圓。兩枚圖釘穿過紙張插入合適的表面，為橢圓提供兩個焦點。它們應該比線圈的長度更靠近。將線圈放在這些圖釘的底部，留一些鬆弛。現在將鉛筆放置在圖釘和線圈形成一個三角形的位置，在弦上施加輕微的張力。

現在嘗試在保持絃線繃緊的情況下，繞著圖釘移動鉛筆來畫一個形狀。結果應該是一個橢圓。透過使圖釘更靠近或更遠，可以改變橢圓的形狀。根據開普勒的說法，這種形狀定義了行星繞太陽執行時的路徑。

開普勒第一定律——行星繞太陽執行的軌道是橢圓，太陽位於一個焦點上。

開普勒第二定律簡而言之，就是物體越靠近太陽速度越快，離得越遠速度越慢。當太陽到軌道路徑的距離越長時，只需遍歷更小的弧線就可以掃過需要在太陽附近遍歷更寬弧線的區域。

當行星沿著軌道靠近太陽時，引力會使其速度增加。相反，當行星遠離太陽時，太陽的引力會逐漸減慢它的速度，使其減速。

開普勒第二定律——繞太陽執行的行星掃過相等的面積 $A$ 在相同的時間間隔內 $t$ 。

將橢圓一分為二並穿過橢圓最寬部分的直線稱為長軸。垂直於該軸線並將橢圓一分為二的直線稱為短軸。長軸長度的一半稱為半長軸，用 $a$ 表示。行星完成一次完整軌道所需的時間用 $P$ 表示。週期P與半長軸長度$a$之間的關係被稱為開普勒第三定律，可以表示為：

$P^{2}\propto a^{3}$

其中符號∝表示“與...成正比”，這意味著週期平方與半長軸立方之間存在直接的數學關係。

第二定律和第三定律為計算任何繞太陽執行的行星的週期以及確定行星將在軌道路徑上的哪個位置提供了基礎。

偏心率和軌道路徑

焦點到橢圓中心的距離與半長軸的比率稱為軌道的偏心率。當橢圓的兩個焦點重疊時，偏心率正好為0.0，形狀為圓形。隨著偏心率的增加，繞軌道執行的行星遠離近地點的距離比最近點遠得多。我們太陽系中行星的軌道偏心率從水星的0.21到金星的0.0068不等。

最近點接近點的科學名稱為近日點，而最遠距離分離點為遠地點。在行星繞太陽執行的情況下，它們分別稱為近日點和遠日點。（-helion字尾來自希臘太陽神Helios的名字。這個詞也是元素氦名稱的來源。）

兩個具有相同長軸 $a$ 但偏心率不同的橢圓軌道。

也許開普勒第三定律最不直觀的一點是，對於任何兩個繞太陽執行、具有相同半長軸的相同天體，其軌道週期都是相同的。即使一個天體以完美的圓形軌道執行，另一個天體以高度橢圓的軌道執行（具有較高的偏心率），這也成立。橢圓形狀將完全位於圓形內，除了兩點（長軸的端點，兩條曲線將在該處相切），因此它實際上是一條更短的軌道路徑。但是，橢圓的遠日點將位於距離太陽更遠的地方，因此行星將在軌道的遠端花費更多時間。更短的軌道和遠日點的較慢穿越相互抵消，導致與圓形軌道相同的週期。

一些使用開普勒第三定律的例子

最初，開普勒第三定律被用來描述行星繞太陽執行的運動。事實證明，它也適用於其他二體軌道系統，例如衛星繞木星的軌道或雙星繞其系統質心的軌道。在所有這些情況下，軌道週期的平方與半長軸的立方成正比，軌道系統之間的差異反映在比例常數中。

在本節中，我們將考慮行星繞太陽執行的特殊情況。如果我們選擇以天文單位 (AU) 為單位來測量軌道半長軸的長度（1 AU 是地球到太陽的距離），並且以年 (縮寫為 $y$) 為單位來測量軌道週期，那麼我們可以將開普勒第三定律表示為

$P^{2}=\left({\frac {y^{2}}{AU^{3}}}\right)a^{3}$

其中 $P$ 以年為單位，$a$ 以天文單位為單位。以下是一些如何使用此方程的示例。

火星的軌道週期

對火星軌道的重複測量表明，其軌道半長軸的長度為 1.52 AU。火星繞太陽執行一週需要多長時間？

解：在本問題中，我們要求火星的軌道週期 $P$。從閱讀問題中我們知道，半長軸的長度 $a$ 是 1.52 AU。解開開普勒第三定律以求週期，我們得到

$P=\left({\frac {y}{\sqrt {AU^{3}}}}\right){\sqrt {a^{3}}}=\left({\frac {y}{\sqrt {AU^{3}}}}\right){\sqrt {(1.52AU)^{3}}}=1.87y$

這告訴我們火星繞太陽執行一週需要 1.87 年。

一顆未知小行星的軌道半長軸

一位業餘天文學家花了幾個月時間跟蹤一顆小行星，並確定它繞太陽執行一週大約需要 3/4 年。這顆小行星軌道的半長軸是多少？

解：從閱讀問題中我們知道，小行星的軌道週期是 3/4 年，或 0.75 $y$。我們期望找到半長軸的長度 $a$，因此我們需要解開開普勒第三定律來求解它。這樣做，我們得到

$a=\left({\frac {AU}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\right){\sqrt[{3}]{P^{2}}}=\left({\frac {AU}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\right){\sqrt[{3}]{(0.75y)^{2}}}=0.83AU$

這意味著它的半長軸位於金星軌道和地球軌道之間。