普通天文學/科學記數法

普通天文學
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在前面的章節中，我們討論了一些非常大的數字。在天文學中，這類巨大數字的出現很常見。這就是天文學家和其他科學家在處理非常大或非常小的數字時使用科學記數法的原因之一。科學記數法是一種書寫和處理數字的系統，它使處理非常小或非常大的數字變得更加容易。

例如，銀河系大約包含三十二億噸的物質。這是一個相當繁瑣的數字。（天文學家實際上永遠不會這樣寫。相反，他們會說銀河系包含太陽質量的一萬億倍，這更容易一些。我們將使用這個更大的數字來演示。）你也可以把這個數字寫成

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 噸，

但這更糟糕。科學記數法使數字更加緊湊易讀

3 × 10³⁹ 噸。

這個數字在口語中表示為“三乘以十的三十九次方噸”。從數值上來說，它等同於前兩個表示式。

使用指數來表示數字，可以使該數字非常快地變得非常大。這使得使用指數表示法來表示非常大或非常小的數字變得很方便。

一個以科學記數法正確書寫的數字有兩個部分。第一部分是一個大於或等於 1 且小於 10 的數字（但可以是正數或負數）。這有時被稱為尾數。第二部分是十的某個整數次方。第二個數字的指數稱為冪。以下是一些以科學記數法正確書寫的數字的示例：

2 × 10¹⁸

-1.4 × 10²

7.656 × 10^-4

2.1 × 10⁰

另一方面，以下這些不是以科學記數法書寫數字的有效示例

0.1 × 10⁴ 是錯誤的，因為尾數小於 1

12 × 10³ 是錯誤的，因為尾數不小於 10

8.4 × 10^2.2 是錯誤的，因為冪不是整數

請記住

10ⁿ = 10 × 10 × 10 × ... n 次，

這意味著十的 n 次方等於 10 自乘 n 次，也就是 1 後面跟著 n 個零。例如，10³ 等於 10 × 10 × 10，也就是 1000。這意味著我們之前提到的數字 3 × 10³⁹ 噸，等同於

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 噸，

也就是 3 後面跟著 39 個零。以科學記數法書寫的數字，如果冪為負數，則對應一個小數。例如，數字 1 × 10⁻³ 在常規記數法中寫成 0.001。一般來說，

10^-n = 1/10 × 1/10 × 1/10 × ... n 次。

這些是將以科學記數法表示的大數轉換為標準記數法的步驟。寫下尾數並找到小數點的位置，然後根據冪指示的數字移動小數點。這裡，冪是 9，所以小數點向右移動九位。 這些是將以科學記數法表示的小數轉換為標準記數法的步驟。將小數轉換為標準記數法的步驟與將大數轉換為標準記數法的步驟相同，但小數點應該向左移動，而不是向右移動。

由於科學記數法依賴於十的冪，因此將數字從科學記數法轉換為標準記數法或反之非常簡單。要將一個大數（帶正冪）從科學記數法轉換為標準記數法，首先確定尾數中的小數點，然後根據冪指示的數字向右移動小數點。要將一個數字從標準記數法轉換為科學記數法，只需反轉這些步驟即可。找到數字中的小數點，然後移動它，直到該數字至少為 1 但小於 10。計算你移動小數點的位數，並將該數字用作冪。如果你是將小數點向左移動，則使冪為正。如果你是將小數點向右移動，則使冪為負。

科學記數法也使乘法和除法變得更簡單。要將兩個以科學記數法表示的數字相乘，將尾數相乘並將冪相加

(3 × 10⁴) × (4 × 10^-2)

(3 × 4) × 10^{4 - 2}

12 × 10²

1.2 × 10³

在某些情況下，比如這裡顯示的這種情況，你可能需要再次移動小數點，以確保數字以正確的科學記數法表示。小數點移動的位數不應超過一位。當以科學記數法除數字時，將尾數相除並將冪相減

${\frac {3\times 10^{4}}{4\times 10^{-2}}}$

$(3/4)\times 10^{4+2}$

0.75 × 10⁶

7.5 × 10⁵

這裡也可能需要移動小數點並更改指數。

科學記數法使比較值相差很大的數字變得容易，因為所有零都被更加易讀的指數替換了。具有更大指數的數字始終大於具有較小指數的數字。

如果一個指數比另一個指數大幾倍，那麼這兩個數字之間的差異顯然非常大。識別兩個數字之間的巨大差異有時是一個非常有用的見解，因此，在處理數學問題之前，花點時間直觀地感受一下問題通常是有意義的。在某些情況下，瞭解一個數字比另一個數字大多少是有用的。科學記數法使這變得更加簡單。為了粗略估計，你只需要找到指數之間的差異。例如，10⁷ 大於 10³，因為 7 - 3 = 4。

芝加哥自然歷史博物館的一些遊客正在驚歎於恐龍骨骼。其中一個遊客問守衛：“你能告訴我這些恐龍骨骼有多老嗎？”

守衛回答：“它們有七千三百萬零四歲零六個月。”

“那真是一個非常精確的數字，”遊客說，“你怎麼知道它們的年齡如此精確？”

守衛回答：“嗯，當我開始在這裡工作的時候，這些恐龍骨骼有七千三百萬年了，那是四年前半。”

（來自科學笑話網頁 [1]）

在科學中，測量永遠不會完美，數字永遠不會精確。因此，我們進行的每次測量都與之相關聯一些不確定性。科學記數法使表達數字的精確程度變得容易。假設一位古生物學家發現了古代恐龍骨骼，並發現它們有七千三百萬年的歷史。當然，古生物學家並不知道它們的準確年齡。也許它們有 73,124,987 年的歷史，但古生物學家只知道年齡在 100 萬年內，因此年齡寫成 73,000,000 年，或 7.3 × 10⁷ 年。這兩個表示式都暗示骨骼的年齡不完全是 7300 萬年，而是在 7300 萬年左右，誤差在 100 萬年內。

但是，如果古生物學家知道年齡在 20 萬年內，並且確信骨骼的年齡不是，比如，73.4 000 000 年？在這種情況下，標準記數法是不確定的——數字仍然寫成 73,000,000 年。在科學記數法中，我們可以將該數字寫成 7.30 × 10⁷ 年。如果我們這樣寫，就意味著第三位數字是有效的。古生物學家可能計算出這些骨骼有 72,954,332 年的歷史，但報告這些數字毫無用處，因為該測量的誤差為 20 萬年。多餘的數字是無關緊要的。一個數字中的有效數字數量反映了該數字中表達的精度。在本例中，有效數字的數量為三個。第一個有效數字是 7，第二個是 3，第三個是 0。

科學記數法賦予數字小數點後寫出的尾數特殊含義——它們表明該數字精確地是 7.30 × 10⁷ 年。這與數學中數字的通常用法不同，在數學中，小數點後的尾數零沒有特殊含義。

在關於博物館守衛的故事中，守衛沒有考慮骨骼年齡的精度。將 4 年新增到 7300 萬年是沒有意義的，因為守衛被告知的年齡的不確定性遠遠大於 4 年。當處理具有不確定性的數字時，我們必須確保計算結果中表達的精度不高於原始資料的精度。

在進行算術運算時，加減數字的處理方式不同於乘除數字的處理方式。

當將具有不確定性的數字相乘或相除時，確保結果的有效數字與原始數字中最不精確的數字一樣多。

例如，在 (2.3 × 10³) × (1.21 × 10²) 中，數字 2.3 × 10³ 有兩位有效數字，而數字 1.21 × 10² 有三位有效數字。結果應該只有兩位有效數字：2.8 × 10⁵。我們假設在給出我們 2.3 × 10³ 的測量值中存在一些不確定性，這會導致計算結果中存在一些不確定性。

加法和減法的工作方式不同。例如，當將 23.14 和 2.2 相加時，數字 2.2 的不確定性從十分位開始。這種不確定性使得在總和中報告百分位變得毫無意義。要了解這一點，請嘗試在 2.2 中新增一些不確定性，看看這如何影響總和。

當加減不確定的數字時，將結果四捨五入到原始數字中不確定性最大的有效位。

例如，2.3 × 10³ + 1.1 × 10² 可以寫成

	2300
+	110
	2410

但我們不知道 2.3 × 10³ 中十位的真實值，所以我們實際上只知道答案到百位。我們應該寫

	2300
+	110
	2400

或者 2.3 × 10³ + 1.1 × 10² = 2.4 × 10³。這似乎不正確，但我們實際上只是四捨五入。由於我們不知道結果是否好於兩位有效數字，因此報告多餘的數字毫無意義——這就像博物館警衛告訴遊客恐龍骨頭已有 7300 萬零四年零六個月了。

幾乎每個數字都附有 **度量單位**。我們用作第一個示例的數字以噸為單位，我們用年表示恐龍骨頭的年齡。數字所攜帶的單位是數字本身的一部分。單位也可以像數字一樣相乘或相除。

舉個例子，考慮一個簡單的等式

距離 = 速度 × 時間。

假設你駕駛一輛汽車，速度為每小時 100 公里（每小時 60 英里），並且你直線行駛一小時。你將行駛的距離為

$\mathrm {distance} =100{\frac {\mathrm {kilometer} }{\mathrm {hour} \!\!\!\!\!\!\!\!/}}\times 1{\mathrm {hour} \!\!\!\!\!\!\!\!/}$

或 60 英里。我們已經取消了小時，就好像它是一個數字一樣。

當你需要轉換單位時，這個技巧也很有用。如果你在一個系統中有一個結果，你想轉換為另一個系統，你可以設定一個比率，例如 1000 米/1 公里。由於 1000 米等於 1 公里，因此比率 1000 米/1 公里等於 1。因此，用 1000 米/1 公里乘以任何數字都不會改變該數字的值。如果我們想知道 100 公里是多少米，我們可以寫

$100\mathrm {\ kilometers} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times {\frac {1000\ \mathrm {meters} }{\mathrm {kilometer} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!/}},$

或 100000 米。

天文學中使用的其他度量單位是 **千克**（質量）、**牛頓**（力）和 **焦耳**（能量）。

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