一般工程介紹/單位量綱/量綱

基本單位依賴關係

量綱分析通常用於檢查推導方程的合理性。它也被用於建立新的方程。

基本單位

對現實量綱的討論必須從基本單位開始：溫度（K，開爾文）、電流（A，安培）、光強（cd，坎德拉）、時間（s，秒）、距離（m，米）、質量（kg，千克）和數量（mol，摩爾）。

基本單位是所有其他單位的基礎。右側的圖形顯示了 7 個基本單位。

有趣的是，溫度 (K) 是獨立的，沒有依賴關係，儘管可以爭辯說它是均方根“平均”振動速度或某種形式的勢能或內能。

有趣的是，安培 (A) 和坎德拉 (cd) 在很大程度上依賴於其他基本單位。每個單位都捕捉到了宇宙中其他單位所沒有的獨特部分。然而，兩者更多地描述了人類如何任意地定義宇宙，而不是宇宙本身。

從時間 (s，秒) 到長度 (m，米) 的箭頭來自廣義相對論研究中發現的時空關係，並且在狹義相對論中有所暗示。

量綱

現實的量綱是 7 個基本單位。所有其他單位都可以用基本單位表示。以下是一些示例

一些從 SI 基本單位推匯出的命名單位

名稱	符號	量	用其他單位表示	在 SI 基本單位 中的量綱
赫茲	Hz	頻率	1/s	s−1
弧度	rad	角度	m/m	無量綱
牛頓	N	力，重量	kg⋅m/s2	kg⋅m⋅s−2
帕斯卡	Pa	壓強，應力	N/m2	kg⋅m−1⋅s−2
焦耳	J	能量，功，熱量	N⋅m = C⋅V = W⋅s	kg⋅m2⋅s−2
瓦特	W	功率，輻射通量	J/s = V⋅A	kg⋅m2⋅s−3
庫侖	C	電荷 或 電量	s⋅A	s⋅A
伏特	V	電壓，電勢差，電動勢	W/A = J/C	kg⋅m2⋅s−3⋅A−1
法拉	F	電容	C/V	kg−1⋅m−2⋅s4⋅A2
歐姆	Ω	電阻，阻抗，電抗	V/A	kg⋅m2⋅s−3⋅A−2
西門子	S	電導	1/Ω = A/V	kg−1⋅m−2⋅s3⋅A2
韋伯	Wb	磁通量	J/A	kg⋅m2⋅s−2⋅A−1
亨利	H	電感	V⋅s/A = Wb/A	kg⋅m2⋅s−2⋅A−2
攝氏度	°C	溫度	K - 273.15	K - 273.15

量綱一致性

假設我們得到一個涉及力 F、半徑 r、長度 s、速度 v、距離 d 和粘度 p 的方程（左側所示），並被要求檢查它是否量綱一致。

F = -2πrsvp/d

這個公式量綱一致嗎？我們需要知道每個符號的量綱。我們知道大部分

• F，力是 ML/T²
• r，半徑是 L
• s，長度是 L
• v，速度是 L/T
• d，距離是 L

什麼是粘度？最簡單的方法是在 NIST 上查詢：粘度（動態粘度）的單位是帕斯卡秒 (Pa·s)。帕斯卡是壓強或單位面積上的力的單位。力是 ML/T²。單位面積上的力是壓強 M/LT²。粘度是壓強乘以時間：M/LT。代回公式

${\frac {ML}{T^{2}}}?=?L*L*{\frac {L}{T}}*{\frac {M}{LT}}*{\frac {1}{L}}$

簡化右側，可以看到該方程量綱一致。

${\frac {ML}{T^{2}}}?=?{\cancel {L}}*{\cancel {L}}*{\frac {L}{T}}*{\frac {M}{{\cancel {L}}T}}*{\frac {1}{\cancel {L}}}$

僅僅因為量綱一致，並不意味著該公式是正確的。然而，大多數情況下，這個過程在本科物理課上是有效的！大多數物理考試會向你提供數字，並期望你以量綱一致的方式將它們組合起來。大多數學生認為物理是關於記憶公式的。實際上，它是關於瞭解你的單位，並能夠以量綱一致的方式將它們組合起來。你是否理解為什麼他們總是在你沒有寫下單位的情況下扣分？

無量綱

弧度、度數是無量綱的。三角函式使用無量綱數。對數函式使用無量綱數。無量綱數可能具有名稱，例如 dB（分貝）。

方程式建立

工程師經常建立不在物理教科書中的方程。它們被稱為 經驗方程，因為它們從未被追溯到第一性原理。但它們已經過實驗驗證。

方程的目的是預測行為。能夠透過方程來描述行為，比照片或影片傳達更多細節。因此，工程師建立並使用科學從未見過的方程。你曾在物理教科書中見過 孔板方程 嗎？你知道它只在管道充滿水時有效，而當管道中有空氣時，有另一個方程嗎？

${\dot {m}}=\rho \;Q=C\;A_{2}\;{\sqrt {2\;\rho \;(P_{1}-P_{2})}}$

長度的基本單位為L，時間的基本單位為T，質量的基本單位為M。

諧振子

我們試圖建立一個公式來預測彈簧週期T。該彈簧連線到天花板上，另一端連線著質量為M的物體，由於彈簧常數為K且存在重力g，該物體上下彈跳。

$T\propto M^{a}\,g^{c}\,K^{d}$

時間維度為T，質量維度為M，長度維度為L，g維度為L/T²。彈簧常數維度為M/T²。在編寫維度方程時，我們不關心數字的精確值，只關心指數。我們要確定的是未知指數a，b和c。與上述相關的維度分析方程如下：

$T=M^{a}\,\left({\frac {L}{T^{2}}}\right)^{c}\,\left({\frac {M}{T^{2}}}\right)^{d}$

比較左右兩邊，我們可以寫出每個維度的方程

• 觀察時間：1 = -2c -2d
• 觀察質量：0 = a + d
• 觀察長度：0 = c

這意味著重力與之無關 (c=0)，d = -1/2 且 a = 1/2。因此公式如下：

$T\propto {\sqrt {m/K}}$

炮彈射程

我們試圖建立一個公式來估計炮彈的射程R。R的維度為L（長度）。假設V_x和V_y分別表示水平和垂直速度（L/T維度），g表示重力（L/T²維度），它們透過以下方程相關聯：

$R\propto {\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

我們不知道指數a、b和c。我們的目標是使用維度分析來計算或檢查它們。

在比較維度時，比例符號可以被等號替換

$L_{x}=(L_{x}/T)^{a}\,(L_{y}/T)^{b}(L_{y}/T^{2})^{c}\,$

比較左右兩邊，我們可以寫出每個維度的方程

• 在水平（x）方向：1=a
• 在垂直（y）方向：0 = b+c
• 對於時間：0 = -a-b-2c

只有三個可能的方程，因為維度分析中只出現了三個維度。透過一些代數運算，可以找到唯一的解

• a = 1
• b = 1
• c = -1

因此原始方程可以寫成

$R\propto {\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

比例符號可以用等號和乘法常數k代替。可以透過實驗和單位選擇來確定該常數。

$R=k*{\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

振動線

我們試圖為振動線的能量E（ML²/T²）寫出一個公式，該振動線長度為h（L），振幅為s（L）。該線的線密度為p（M/L），處於張力F（ML/T²）下。

$E\propto h^{a}\,s^{b}\,p^{c}\,F^{d}\,$

我們不知道指數a、b、c和d。我們的目標是使用維度分析來計算或檢查它們。

在比較維度時，比例符號可以被等號替換

${\frac {ML^{2}}{T^{2}}}=L^{a}\,L^{b}\,\left({\frac {M}{L}}\right)^{c}\,\left({\frac {ML}{T^{2}}}\right)^{d}\,$

比較左右兩邊，我們可以寫出每個維度的方程

• 觀察質量，1 = c + d
• 觀察長度，2 = a + b - c + d
• 觀察時間，-2 = d

三個方程，四個未知數，這意味著沒有唯一的答案。但某些值是已知的

• d=-2
• c=3
• a+b = 7

需要進行一個實驗，保持所有因素不變，但改變振幅 (s) 或長度 (h)。這樣就可以找到 a 或 b。假設我們預期進行一個改變 s 以找到 b 的實驗。那麼 a = 7-b，我們可以在目前情況下儘可能完成這個公式，透過說

$E\propto {\frac {h^{7-b}s^{b}p^{3}}{F^{2}}}$