一般力學/牛頓定律的替代公式

重新公式化牛頓

在上一章中，我們看到了如何使用任意座標將牛頓定律重新公式化為一組二階常微分方程。

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

從拉格朗日函式開始解決問題通常比直接使用牛頓定律更容易。拉格朗日函式在理論分析中也更有用。

然而，拉格朗日方法不是重新公式化牛頓的唯一有用方法。還有一種第二種相關的方法在分析中也非常有用；即，以一種特別自然的方式將運動方程寫成一組一階常微分方程。

為此，我們將使用來自微積分學習的標準技術。

推導

考慮函式

$H(q,p,t)={\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

其中$q_{i}$是廣義座標，$p_{i}$是一組我們很快就會看到其含義的新變數，$H$應該是$p$和$q$的函式，並且使用了求和約定。

然後我們有

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\quad (1)$

但是，由於H是僅p和q的函式，我們也可以寫

$dH={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt\quad (2)$

為了使這兩個方程都成立，微分的係數必須相等。

方程 (2) 不包含$d{\dot {q}}_{i}$項，因此該項在方程 (1) 中的係數必須為零。即，

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

這給了我們一個關於 p_i 的定義。在拉格朗日方程中使用它，得到

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

方程（1）簡化為

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

現在將係數與方程（2）進行比較，可以得到運動所需的一階方程組。

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

這些被稱為 *哈密頓方程*，*H* 被稱為 *哈密頓量*。

H 和 p 的物理意義

為了瞭解 *H* 和 *p*_*i* 的實際含義，讓我們考慮幾個典型的案例。

首先，讓我們看看一個不受力的自由粒子。這將讓我們從物理意義上了解 *p*_*i* 的含義。

如果我們使用自由粒子的笛卡爾座標，我們有

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

*p*_*i* 是它對速度的微分。

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

這些是動量向量的分量。

如果我們使用柱座標，我們有

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

和

$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\quad p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

這一次，p_z 是動量在 z 方向上的分量，p_r 是徑向動量，而 p_θ 是角動量，我們之前已經看到它等同於旋轉的動量。

由於在這些熟悉的例子中，p_i 是動量，我們將其推廣並稱 p_i 為 共軛動量。

請注意，從哈密頓方程可以看出，如果 H 與某個座標 q 無關，則

${\dot {p}}_{q}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0$

因此，與 q 共軛的動量守恆。這種守恆定律與座標無關性之間的聯絡是許多物理學的基礎。

其次，為了看到 H 的物理意義，我們將考慮一個在勢 V 中運動的粒子，使用笛卡爾座標進行描述。

這次拉格朗日量為

$L=T-V={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)$

我們發現 p_i 為

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

因此，它們再次是動量。

現在讓我們計算 H。

${\begin{matrix}H&=&{\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}+{\dot {y}}p_{y}&-&L&&\\&=&m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&-&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&+&V\\&=&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&&&+&V\\&=&T&&&+&V\end{matrix}}$

因此，H 是總能量，寫成位置和動量的函式。

這並不總是正確的，但對於所有常見的能量守恆系統來說是正確的。

通常，如果我們知道系統的能量如何依賴於速度和位置，我們就能瞭解系統的全部資訊。

物理學家經常透過寫下 H 或 L 的表示式來開始解決問題，而不會計算實際的力。

更深層的含義

如果我們將哈密頓方程，

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

與幾何光學方程進行比較。

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial \omega }{\partial k_{i}}}\quad {\dot {k}}_{i}=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}$

我們可以看到這兩組方程的形式相同。

如果我們進行如下形式的替換，

$H=\alpha \omega \quad p=\alpha k$

對於任何 α，這兩組方程將變得完全相同。

現在，幾何光學是對任何波動方程的完整解的近似，在波長很小時有效。

由於經典力學就像幾何光學一樣，經典力學也可能是對更精確的波動理論的小波長近似。

這不是一個證明，可能是與是不同，但這確實表明經典力學與波動理論相容，這與直覺相反。

我們將在後面看到，這不是巧合，經典力學確實是對更精確的波動理論，即量子力學的小波長近似，並且在該理論中，物質波的能量與頻率成正比，動量與波數成正比，就像上面的替換所要求的那樣。

哈密頓方程還可以用來構造一個稱為泊松括號的數學工具，它使我們能夠以一種使量子力學之間的聯絡更加清晰的方式寫下經典力學的方程，但如何解釋超出了本書的範圍。

由於經典力學就像幾何光學一樣，應該存在類似於費馬原理的東西，即光走最快的路徑，並且確實存在。

光從 a 到 b 走最快的路徑，物質走最小作用的路徑，其中作用定義為

$\int _{a}^{b}L(x,{\dot {x}},t)\,dt$

可以證明，當且僅當系統服從拉格朗日方程時，該積分取極值。說物質沿著作用量最小的路徑運動，等同於說它服從拉格朗日方程，或牛頓定律。

此外，事實證明，在廣義相對論中，作用量與所用時間成正比，因此物質實際上也沿著兩點之間的最短路徑運動。