一般力學/使用牛頓定律進行分析

使用牛頓定律進行分析

任何時間質量的加速度由牛頓第二定律給出

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {F}{m}}=-{\frac {kx}{m}}$

這類方程被稱為微分方程，因為它包含因變數的導數。這類方程通常比代數方程更難解，因為沒有通用的技術可以解所有形式的這類方程。實際上，可以肯定地說，大多數微分方程的解最初是透過猜測得到的！

有一些解決簡單微分方程（如這個）的系統方法，但現在我們將使用我們對物理問題的瞭解來進行明智的猜測。

我們知道質量會來回振盪，其週期與振盪的幅度無關。一個可能符合條件的函式是正弦函式。讓我們嘗試代入，

$x=A\sin(\omega t)$

其中 ω 是一個常數，代入這個方程。

我們得到

$-\omega ^{2}A\sin(\omega t)=-A{\frac {k}{m}}\sin(\omega t)$

請注意正弦函式被抵消了，剩下 $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ 。如果我們設定，這個猜測就起作用了

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

這個常數是振盪器的角振盪頻率，我們由此推斷出振盪週期為

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

這與量綱分析的結果一致。因為這與 $A$ 無關，我們可以看到週期與幅度無關。

很容易證明餘弦函式同樣是有效的解，

$x=B\cos(\omega t)$

對於相同的 $\omega$ 。

實際上，最一般的解只是這兩種解的組合，即

$x=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

$A,B$ 的值取決於質量在時間 $t=0$ 的位置和速度。