一般力學/耦合振盪器

我們經常遇到包含多個諧振子的系統，例如

兩個相同的質量，m，第一個透過一個彈簧連線到牆上，彈簧常數為k，第二個透過另一個相同的彈簧連線到第一個。

如果彈簧沒有連線，它們都會以相同的頻率振動，ω=√(k/m)。連線彈簧會改變這一點。

為了找出連線系統的行為方式，我們將從拉格朗日方程開始，使用質量的位移x₁和x₂作為我們的座標。

對系統的稍加觀察表明

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)\quad V={\frac {1}{2}}k\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

所以，使用ω²=k/m，

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

運動方程隨即得出。

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{1}&=&-\omega ^{2}(2x_{1}-x_{2})\\{\ddot {x}}_{2}&=&-\omega ^{2}(x_{2}-x_{1})\end{matrix}}\quad (1)$

為了求解這些方程，我們嘗試一個三角函式解

$x_{1}=A_{1}\sin \Omega t\quad x_{2}=A_{2}\sin \Omega t$

將此代入(1)得到

${\begin{matrix}-\Omega ^{2}A_{1}&+&\omega ^{2}(2A_{1}-A_{2})&=&0\\-\Omega ^{2}A_{2}&+&\omega ^{2}(A_{2}-A_{1})&=&0\\\end{matrix}}$

我們將在相同頻率的任何三角函式解中得到相同的方程。

將A₁和A₂的係數放在一起，可以將最後一個方程改寫為

${\begin{pmatrix}2\omega ^{2}-\Omega ^{2}&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega ^{2}-\Omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad (2)$

我們只有在矩陣的行列式為零時才能求解此方程。

$\Omega ^{4}-3\omega ^{2}\Omega ^{2}+\omega ^{4}=0$

解是

$\Omega _{\pm }^{2}={\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}\omega ^{2}$

因此，組合系統有兩個固有頻率，一個低於另一個高於單個彈簧的固有頻率。這很典型。

我們還可以根據 (2) 計算 A₁ 和 A₂ 的比率。除以 A₂ 可得

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}=1-{\frac {\Omega _{\pm }^{2}}{\omega ^{2}}}$

• 對於較低的頻率 Ω_-（小於 ω），該比率為正，因此兩個質量以不同的振幅朝相同方向移動。據說它們是同相的。

• 對於較高的頻率 Ω₊（大於 ω），該比率為負，因此兩個質量以不同的振幅朝相反方向移動。據說它們是反相的。

這種行為在耦合的諧振子對中很典型。

相同的方法也可以用於具有兩個以上粒子的系統。