一般力學/叉積

有兩個方法可以將兩個向量相乘，點積和叉積。我們已經研究了兩個向量的點積，它得到一個標量或單個數字。

兩個向量的叉積得到一個第三個向量，並用以下符號表示

${\vec {A}}\times {\vec {B}}$

兩個向量的叉積被定義為垂直於這兩個向量所定義的平面。然而，這並不能告訴我們得到的向量是指向上離開平面還是指向下。使用右手定則可以解決這種模糊性

1. 將你右手的未彎曲手指指向第一個向量 ${\vec {A}}$ 的方向。
2. 旋轉你的手臂，直到你可以將你的手指彎曲到第二個向量 ${\vec {B}}$ 的方向。
3. 你伸出的拇指現在指向叉積向量 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 的方向。

叉積的大小由下式給出

$|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cdot \sin(\theta )$

其中 $|{\vec {A}}|$ 和 $|{\vec {B}}|$ 是 ${\vec {A}},{\vec {B}}$ 的大小，而 $\theta$ 是這兩個向量之間的夾角。注意，當向量平行或反平行時，叉積的大小為零，當它們垂直時，叉積的大小最大。這與點積形成對比，點積對平行向量最大，對垂直向量為零。

請注意，叉積不滿足交換律，即向量的順序很重要。特別是，使用右手定則很容易證明

${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$

計算叉積的另一種方法在兩個向量用分量表示時最有用，

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{vmatrix}}$

其中，行列式展開方式與所有分量為數字時相同，得到

${\begin{aligned}C_{x}&=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}\\C_{y}&=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}\\C_{z}&=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\end{aligned}}$

注意正項具有前向字母順序，xyzxyzx...（x 緊隨 z 後）

使用叉積，我們也可以用兩種不同的方式將三個向量相乘。

我們可以將一個向量與叉積進行點積，得到一個三重標量積，

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$

該乘積的絕對值是三個向量 ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ 定義的平行六面體的體積。

或者，我們可以將一個向量與叉積進行叉積，得到一個三重向量積，它可以簡化為點積的組合。

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$

這種形式更易於計算。

三重向量積不是結合的。

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})\neq ({\vec {A}}\times {\vec {B}})\times {\vec {C}}$

使用指標符號表示叉積的一種簡潔且實用的方法是

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}=\epsilon ^{ijk}\,A_{j}\,B_{k}\,{\hat {e}}_{i}$

其中 $\epsilon ^{ijk}$ 是 Levi-Civita 交替符號，而 ${\hat {e}}_{i}$ 是單位向量 ${\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}$ 之一。（一個很好的練習是使用這個表示式，看看是否能得到前面定義的 ${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}$。）