普通力學/能量分析

能量分析

圖 11.2: 一維諧振子的勢能、動能和總能量作為彈簧位移的函式繪製。

對於彈簧，胡克定律指出總力與位移成正比，並且方向相反。

$F=-kx$

由於它與速度無關，因此它是一個保守力。我們可以積分來求出質量-彈簧系統的勢能，

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$

由於存在勢能，因此總能量

$E={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

是守恆的，即隨時間保持不變。

我們現在可以使用能量守恆來確定速度與位置的關係

${\dot {x}}=\pm {\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {k}{m}}x^{2}}}$

我們可以積分來確定位置隨時間的函式，但我們可以從這個方程中推匯出很多東西。

質量的運動方式相當明顯。從胡克定律可以看出，質量總是向平衡位置加速，因此我們知道平方根的哪個符號是正確的。

當速度為零時

$x=\pm {\sqrt {\frac {2E}{k}}}$

如果x大於此值，速度將不得不是虛數，這顯然是不可能的，因此質量必須限制在這兩個值之間。我們可以稱它們為轉折點。

如果質量向左移動，當它接近左轉折點時，它會減速。它在到達該點時停止，並開始向右移動。它會加速直到它經過平衡位置，然後開始減速，在右轉折點停止，然後向左加速，等等。因此，質量在左右轉折點之間振盪。

振盪週期如何取決於系統的總能量？我們無需求解微分方程就可以大致瞭解。

週期T僅取決於兩個引數；質量m和彈簧常數k。

我們知道T以秒為單位，m以千克為單位。為了使胡克定律中的單位匹配，k必須以 N·m^-1為單位，或者等效地以 kg·s^-2為單位。

我們立即發現，將m和k組合起來以得到以秒為單位的量的唯一方法是除法，從而抵消 kg。

因此T∝${\sqrt {m/k}}$

我們已經確定了週期依賴於問題引數的一般方式，而無需使用微積分。

這種技術稱為量綱分析，具有廣泛的應用。例如，如果我們無法使用微積分精確地計算比例常數，我們可以透過進行一次實驗來推匯出它。沒有量綱分析，如果微積分失效，我們將不得不進行大量實驗，每個實驗針對不同的m和k組合。

幸運的是，比例常數通常是小數，例如$3{\sqrt {2}}$ 或 ${\sqrt {\pi }}/2$.