一般力學/受迫振盪

如果我們以d=d₀sin ω_Ft的量來擺動上圖中彈簧的左端，而不是將其固定，我們就會得到一個受迫諧振子。

常數d₀是強加擺動運動的振幅。強迫頻率ω_F不一定等於質量彈簧系統的自然頻率或共振頻率。根據強迫頻率小於、等於或大於ω，會發生非常不同的行為。

給定上述擺動，彈簧作用在質量上的力變為

${\displaystyle F=-k(x-d)=-k(x-d_{0}\sin \omega _{F}t)\,$

因為彈簧的長度是左右端位置的差。與不受迫的質量彈簧系統一樣，我們得到了微分方程

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{M}}x={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

這個方程的解是x∝ sin ω_Ft的受迫部分與自由部分之和，自由部分與不受迫方程的解相同。我們主要對解的受迫部分感興趣，所以我們令x=d₀sin ω_Ft並將其代入運動方程，得到

$-\omega _{F}^{2}x_{0}\sin \omega _{F}t+{\frac {k}{M}}x_{0}\sin \omega _{F}t={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

正弦因子抵消，留下一個關於質量振盪運動振幅的代數方程。

求解質量振盪振幅與擺動運動振幅的比值，我們發現

${\frac {x_{0}}{d_{0}}}={\frac {1}{1-M\omega _{F}^{2}/k}}={\frac {1}{1-\omega _{F}^{2}/\omega ^{2}}}$

其中我們已經認識到k/M=ω²，是自由振盪頻率的平方。

注意，如果ω_F<ω，則質量的運動與擺動運動同相，質量振盪的振幅大於擺動的振幅。隨著強迫頻率接近振盪器的自然頻率，質量的響應振幅越來越大。

當強迫頻率處於共振頻率時，響應在理論上是無限的，儘管在這種情況下的振幅實際限制將會介入——例如，彈簧不能無限地拉伸或收縮。在許多情況下，摩擦將作用於限制質量對接近共振頻率的強迫的響應。

當強迫頻率大於自然頻率時，質量實際上會與擺動運動相反的方向移動——即響應與強迫異相。隨著強迫頻率高於共振頻率增加，響應的振幅減小。

受迫諧振子和自由諧振子是許多物理系統的重要組成部分。例如，任何彈性材料體，如橋樑或飛機機翼，都有諧振振盪模式。一個常見的工程問題是確保這些模式在自然發生的程序可能激發這些模式時，被摩擦或其他物理機制阻尼。許多災難都可以追溯到在工程結構中沒有適當地考慮振盪強迫。