一般力學/指標符號

求和約定

如果我們將軸標記為 1、2 和 3，我們可以將點積寫成一個和

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}$

如果我們以類似的方式對矩陣的元素進行編號，

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{31}&B_{32}&B_{33}\end{pmatrix}}$

我們可以為矩陣乘法寫出類似的表示式

$(\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{jk}$

請注意，在每種情況下，我們都在對重複的索引求和。由於這種情況非常常見，因此現在約定省略求和符號。

我們只需寫

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{i}\quad (\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=A_{ij}B_{jk}$

然後我們也可以對單位向量 ê_i 進行編號，並寫

$\mathbf {u} =u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

這在旋轉座標系中可能很方便。

克羅內克德爾塔

克羅內克德爾塔是

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&i=j\\0&i\neq j\end{matrix}}\right.$

這是寫單位矩陣的標準方法。

Levi-Civita（交替）符號

另一個有用的量可以透過以下方式定義：

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}1&(i,j,k)=(1,2,3){\mbox{ or }}(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(2,1,3){\mbox{ or }}(3,2,1){\mbox{ or }}(1,3,2)\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{matrix}}\right.$

根據這個定義，我們發現

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}$

和

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{ipq}=\delta _{jp}\delta _{kq}-\delta _{jq}\delta _{kp}\,$

這將使我們能夠更簡潔地寫出許多公式。