一般力學/動量

變化的質量

到目前為止，我們假設被考慮的物體的質量是恆定的，但這並不總是正確的。總的來說質量是守恆的，但考慮火箭等失去或獲得質量的物體是有用的。

我們可以透過兩種方式考慮火箭來找出如何將牛頓第二定律擴充套件到這種情況：作為具有可變質量的單個物體，以及作為兩個正在相互推開的固定質量物體。

我們發現

$\mathbf {F} =m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

力是某個量的變化率，$m{\vec {v}}$ ，我們稱之為*線性動量*。

牛頓第三定律

牛頓第三定律指出，作用於質量 $m_{1}$ 的力 $F_{12}$ ，作用於另一個質量 $m_{2}$ ，等於另一個質量作用於第一個質量上的力 $F_{21}$ 的大小，並且方向相反。

${\frac {d(m_{2}{\vec {v}}_{2})}{dt}}={\vec {F}}_{12}=-{\vec {F}}_{21}=-{\frac {d(m_{1}{\vec {v}}_{1})}{dt}}$

如果這兩個物體沒有受到外部力的作用。我們可以將這兩個動量加在一起得到

${\frac {d(m_{1}{\vec {v}}_{1})}{dt}}+{\frac {d(m_{2}{\vec {v}}_{2})}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})=0$

因此，總的線性動量是守恆的。

最終，這是空間是均勻的的結果。

質心

假設有兩個質量恆定的物體受到外力作用，${\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}$

那麼作用在系統上的總力，${\vec {F}}$，是

${\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})$

因為內力相互抵消。

如果將這兩個物體視為一個系統，${\vec {F}}$ 應該是總質量與${\bar {a}}$，即平均加速度的乘積，我們預期它與某種平均位置有關。

${\begin{aligned}(m_{1}+m_{2}){\bar {a}}&={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})\\&={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2})\\{\bar {a}}&={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}$

平均加速度是平均位置的二階導數，以質量為權重。

這個平均位置叫做質心，它以與系統總質量相同的速度加速，並且受到總力的作用。

我們可以將它擴充套件到任意數量的物體，它們受到任意外力和內力的作用。

• 我們有$n$ 個物體，質量為$m_{1}\ldots ,m_{n}$，總質量為$M$
• 每個質量 $m_{i}$ 位於點 $r_{i}$
• 每個質量 $m_{i}$ 受到外力 $F_{i}$
• 質量 $m_{j}$ 對質量 $m_{i}$ 的內力為 $F_{ij}$

那麼質心 $R$ 的位置是

${\vec {R}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}$

我們現在可以對 $R$ 求二階導數

${\begin{aligned}M{\vec {R}}''&=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}''\\&=\sum _{i}\left({\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{ij}\right)\end{aligned}}$

但所有內力的總和為零，因為牛頓第三定律使它們成對抵消。因此，上述等式中的第二項消失，我們剩下

$M{\vec {R}}''=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}$

無論內力如何，質心始終像在總外力作用下具有相同總質量的物體一樣運動。