普通力學/二維和三維運動

2和3方向的運動

之前，我們討論了一維牛頓動力學。現在我們已經熟悉了向量和偏微分，我們可以將討論擴充套件到二維或三維。

功變成點積

$W=\mathbf {F} \cdot \Delta x$

同樣地，功率

$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

如果力與運動方向垂直，則不做功。

在一維中，我們說一個力是保守的，如果它僅僅是位置的函式，或者等效地，勢能的負斜率。

第二個定義擴充套件到

$\mathbf {F} =-\nabla V$

在二維或更多維中，這些不是等效的語句。要看到這一點，請考慮

$D_{y}\mathbf {F} _{x}-D_{x}\mathbf {F} _{y}=V_{xy}-V_{yx}$

由於導數的順序無關緊要，因此對於任何可以寫成梯度的力，該方程的左側必須為零，但對於任意力，僅僅取決於位置，例如 F=(y, -x, 0)，左側不為零。

保守力很有用，因為它們所做的總功僅取決於端點的勢能差，而不取決於所走的路徑，由此可以立即得出能量守恆。

如果是這種情況，則由無限小位移 dx 所做的功必須為

$W=V(\mathbf {x} )-V(\mathbf {x} +d\mathbf {x} )=-(\nabla V)\cdot d\mathbf {x}$

將此與上面的第一個方程進行比較，我們看到如果我們有勢能，那麼我們必須有

$\mathbf {F} =-\nabla V$

任何這樣的 F 都是保守力。

圓周運動

二維運動的一個重要例子是圓周運動。

考慮一個質量為 m 的物體，它在一個半徑為 r 的圓周上運動。

角速度 ω 是角度隨時間的變化率。在時間 Δt 內，物體經過一個角度 Δθ= ωΔt。物體移動的距離然後是 r sin Δθ，但這近似於小角度的 rΔθ。

因此，在很短的時間 Δt 內移動的距離為 rωΔt，除以 Δt 後得到速度 v。

$v=\omega r\,$

這是速度，而不是速度，因為它不是向量。速度是一個向量，其大小為 ωr，指向圓的切線方向。

速度的大小是恆定的，但方向在變化，因此物體正在加速。

透過與上面類似的論證，可以證明加速度的大小為

$a=\omega v\,$

並且它指向內部，沿著半徑向量。這叫做向心加速度。

透過從這兩個方程中消除 v 或 ω，我們可以寫出

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {\hat {r}}$