一般力學/連續極限

介紹

原則上，我們可以使用迄今為止描述的方法，透過簡單地跟蹤每個原子來預測物質的行為。

在實踐中，這不是一種有用的方法。相反，我們把物質看作一個連續體。

在本節中，我們將看到這是如何做到的，以及它如何將我們帶回到波。

例如，我們將考慮一組N+1個相同的彈簧和質量，按照上一節的排列，彈簧0連線到牆壁，質量N是自由的。

我們感興趣的是當N很大時會發生什麼，即連續極限。

該系統還有三個其他引數：彈簧常數k，粒子質量Δm，以及彈簧靜止間距Δa，其中變數名稱是為了方便將來的使用而選擇的。這些引數可以與N結合起來，為系統提供一組類似的引數。

假設所有質量都從靜止狀態被位移了d，系統的總位移為D=dN，那麼總勢能為kNd²/2 = kD²/(2N)，所以

• 系統的彈簧常數為K=k/N
• 系統的質量為m=ΔmN
• 系統的靜止長度為a=ΔaN

如果，當我們增加N時，我們改變另外三個引數以保持K，m，和a不變，那麼在N很大的極限情況下，這個離散系統將看起來像一個質量連續分佈在其長度上的彈簧。

對於座標，我們將使用每個質量的位移，x_n。對於較大的N，位移將近似地隨距離連續變化。我們可以將其視為一個連續函式，x，其中

$x(n\Delta a)=x_{n}\,$

系統的動能則很簡單

$T={\frac {1}{2}}\Delta m\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}$

總勢能類似地

$V={\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})^{2}$

從這裡我們可以用兩種不同的方法推匯出運動方程。

運動方程：第一種方法

如果我們先取N很大的極限，這些求和就變成了積分。

${\begin{matrix}T&=&{\frac {m}{2a}}\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}\Delta a\\\lim _{N\rightarrow \infty }T&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}{\dot {x}}^{2}ds\end{matrix}}$

其中s是距牆壁的距離，以及

${\begin{matrix}V&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{0}^{N-1}(x_{n}-x_{n+1})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}K\sum \left({\frac {x(n\Delta a+\Delta a)-x(n\Delta a)}{\Delta a}}\right)^{2}a\Delta a\\\lim _{N\rightarrow \infty }V&=&{\frac {1}{2}}kx(0)^{2}+{\frac {1}{2}}Ka\int \left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}ds\end{matrix}}$

由於彈簧始終連線到牆上，因此x(0)=0。

T 的被積函式是密度和速度平方的乘積，正如我們可能直覺地期望的那樣。類似地，V 是系統長度上無窮小彈簧勢能的積分。

使用拉格朗日方程將使我們能夠從這些積分中獲得運動方程。

它是

${\begin{matrix}L&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}{\dot {x}}^{2}ds-{\frac {1}{2}}Ka\int _{0}^{a}\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}ds\\&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}({\dot {x}}^{2}-{\frac {Ka^{2}}{m}}x^{\prime 2})ds\\\end{matrix}}$

系統的作用量是

$\int Ldt=\int \int {\mathcal {L}}({\dot {x}},x^{\prime })dxdt\quad {\mbox{ where }}{\mathcal {L}}={\frac {m}{2a}}({\dot {x}}^{2}-{\frac {Ka^{2}}{m}}x^{\prime 2})$

在這裡，我們在空間和時間上進行積分，而不僅僅是空間，但這仍然與單個粒子的作用量非常相似。

我們可以預期最小作用量原理會將我們引導到拉格朗日方程對該作用量的自然擴充套件，

${\frac {d}{ds}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\prime }}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}$

這個方程可以使用變分法來證明。對於這個特定的拉格朗日方程，它給出了

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial s^{2}}}=0$

這是一個偏微分方程。我們不會詳細討論它的解，但我們會看到它描述了波。

首先，我們將確認這些方程與我們先找到運動方程，然後取大N 極限時得到的方程相同。

運動方程：第二種方法

首先，我們將看一下勢能，看看它如何取決於位移。

${\begin{matrix}V&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{0}^{N-1}(x_{n}-x_{n+1})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(x_{0}^{2}\cdots (x_{n-1}-x_{n})^{2}+(x_{n}-x_{n+1})^{2}\cdots (x_{N}-x_{N-1})^{2}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(2x_{0}^{2}-2x_{0}x_{1}\cdots -2x_{n}x_{n+1}+2x_{n}^{2}-2x_{n}x_{n+1}\cdots x_{N}^{2}-2x_{N}x_{N-1}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(2x_{0}^{2}-2x_{0}x_{1}\cdots 2x_{n}(x_{n}-x_{n+1}-x_{n-1})\cdots x_{N}^{2}-2x_{N}x_{N-1}\right)\\\end{matrix}}$

請注意，我們需要對第一個和最後一個質量的位移進行不同於其他座標的處理，因為拉格朗日函式對它們的依賴性不同。

動能關於座標是對稱的，

$T={\frac {1}{2}}\Delta m\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}$

使用拉格朗日方程，我們得到，對於 _x_₀

$\Delta m{\ddot {x}}_{0}+2kx_{0}=kx_{1},$

對於 _x__{_N_}，

$\Delta m{\ddot {x}}_{N}+kx_{N}=kx_{N-1},$

以及對於所有其他的 _x__{_n_}

$\Delta m{\ddot {x}}_{n}+2kx_{n}=k(x_{n+1}+x_{n-1}),$

我們可以用極限值 K 和 m 代替 _k_ 和 Δ_m_，使用

${\frac {k}{\Delta m}}={\frac {Ka^{2}}{m\Delta a^{2}}}$

得到

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{0}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{1}-2x_{0}}{\Delta a^{2}}}\\{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}}{\Delta a^{2}}}\\{\ddot {x}}_{N}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{N-1}-x_{N}}{\Delta a^{2}}}\end{matrix}}$

觀察等式右邊的結構，我們發現它表示了相鄰點位移的差值除以兩點之間的距離，因此我們可以推測，在極限情況下，它將轉化為關於 s（離牆的距離）的微分。

當 N 趨於無窮大時，x₀ 和 x₁ 都將趨於 x(0)，而 x(0) 始終為零，因此 x₀ 的運動方程始終成立。

在連續極限情況下，x_N 的方程變為

${\ddot {x}}(a)=-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {1}{\Delta a}}{\frac {dx}{ds}}$

由於 Δa 趨於零，為了使該等式成立，我們必須有 x' = 0 在 a 處。

對於其他位移，

${\begin{matrix}\lim _{\Delta a\rightarrow 0}{\frac {x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}}{\Delta a^{2}}}&=&\lim _{\Delta a\rightarrow 0}&{\frac {1}{\Delta a}}\left({\frac {x_{n+1}-x_{n}}{\Delta a}}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{\Delta a}}\right)\\&=&\lim _{\Delta a\rightarrow 0}&{\frac {x^{\prime }((n+1)\Delta a)-x^{\prime }(n\Delta a)}{\Delta a}}\\&=&\left.{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right|_{x=a}&\\\end{matrix}}$

因此，我們得到以下方程

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial s^{2}}}=0$

與其他方法的結果相同。

波浪

直觀上，如果我們撥動這個系統中的一個質量，振動會像波浪一樣沿著彈簧傳播，因此我們尋找這種形式的解。

一個典型的行波是

$x=A\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )\,$

將這個猜想代入方程，我們得到

$-A\omega ^{2}\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )=-{\frac {Ka^{2}}{m}}\kappa ^{2}\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )$

因此，只要頻率和波數滿足以下關係，該波就是方程的解

$\omega ^{2}={\frac {Ka^{2}}{m}}\kappa ^{2}$

這些波的速度，c，是

$c={\frac {d\omega }{d\kappa }}=\pm {\sqrt {\frac {Ka^{2}}{m}}}$

因此，我們從牛頓定律推匯出波動。

我們可以從三維粒子陣列開始做同樣的事情，並推匯出固體中縱波和橫波的方程。我們之前關於波的一切對於這些系統都是成立的。

這個特殊的系統有兩個邊界條件：位移在壁處為零，在自由端處為區域性極值。這在所有此類問題中都是典型的。

當我們考慮邊界條件時，我們發現正確解是駐波的組合，形式為

$x=A_{m}\sin \left({\frac {2b+1}{2}}{\frac {\pi s}{a}}\right)\sin \left({\sqrt {\frac {Ka^{2}}{m}}}{\frac {2b+1}{2}}{\frac {\pi }{a}}t+\alpha _{m}\right)$

其中b是任意整數。

如果我們還知道初始位移，我們可以使用傅立葉級數來獲得所有時間的精確解。

在實踐中，N通常很大但有限，因此連續介質極限只近似成立。考慮到這一點，我們將得到一個關於1/N的冪級數，描述了對近似的微小修正。這些修正會導致有趣的效果，包括解，但我們這裡不進行計算。

連續介質極限對於與粒子間距相當的小波長也不適用。

場

在連續介質極限下，彈簧由一個變數描述，該變數是位置和時間的函式。這種變數通常被稱為場。

乍一看，經典場與經典粒子看起來截然不同。在一種情況下，位置是因變數；在另一種情況下，它是自變數。然而，如上面的計算所暗示的那樣，如果我們採用拉格朗日方法，場和粒子具有潛在的統一性。

我們可以使用基本相同的數學技術來處理兩者，從同一個來源提取關於場和該場中粒子的資訊。

例如，一旦我們知道電磁學的拉格朗日量，我們就可以從它推匯出電磁場的偏微分方程和這些場中帶電粒子的力。我們將在後面研究電磁學時看到具體的例子。

在上面的例子中，場拉格朗日量是離散系統拉格朗日量的連續介質極限。它不必如此。我們可以研究由我們喜歡的任何拉格朗日量描述的場，無論是否存在底層機械系統。

到目前為止，我們已經研究了牛頓定律下的波和運動，並看到了運動研究如何將我們帶回到波。接下來，我們將研究狹義相對論，並看看愛因斯坦的洞察力如何影響這一切。